翻訳と辞書 Words near each other ・ オイラン淵 ・ オイラン渕 ・ オイラン車 ・ オイラー ・ オイラー (小惑星) ・ オイラー (曖昧さ回避) ・ オイラー-マクローリンの公式 ・ オイラー–マスケローニ定数 ・ オイラーのγ ・ オイラーのφ函数 ・ オイラーのφ関数 ・ オイラーのガンマ ・ オイラーのコマ ・ オイラーのトーシェント函数 ・ オイラーのトーシェント関数 ・ オイラーのトーティエント関数 ・ オイラーの五角数定理 ・ オイラーの公式 ・ オイラーの分割恒等式 ・ オイラーの和公式 Dictionary Lists mini英和辞書 mini和英辞書 Webster 1913 Latin-English FOLDOC Wikipedia English ウィキペディア

翻訳と辞書　辞書検索 [ 開発暫定版 ] スポンサード リンク オイラーのφ関数 ： ミニ英和和英辞書 オイラーのφ関数[おいらーのとーしぇんとかんすう] ===================================== 〔語彙分解〕的な部分一致の検索結果は以下の通りです。 ・ ー ： [ちょうおん] 　(n) long vowel mark (usually only used in katakana) ・ 関 ： [せき, ぜき] 　(suf) honorific added to names of makuuchi and juryo division sumo wrestlers ・ 関数 ： [かんすう] 　(n) function (e.g., math, programming, programing) ・ 数 ： [すう, かず] 　 1. (n,n-suf) number　2. figure　 オイラーのφ関数 ： ウィキペディア日本語版 オイラーのφ関数[おいらーのとーしぇんとかんすう] オイラーのトーシェント関数（オイラーのトーシェントかんすう、）は各正の整数 ''n'' に対して、1 から ''n'' までの自然数のうち ''n'' と互いに素なものの個数を φ(''n'') として与えることによって定まる数論的関数 φ である。慣例的に φ(''n'') と表記されるため、オイラーの φ 関数（ファイかんすう、）とも呼ばれる。また、簡略的にオイラーの関数と呼ぶこともある。 例えば、1, 2, 3, 4, 5, 6 のうち 6 と互いに素なのは 1, 5 の 2 個であるから、定義によれば φ(6) = 2 である。また例えば 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 のうち 7 以外は全て 7 と互いに素だから、φ(7) = 6 と定まる。なおトーシェント関数の値域に含まれない自然数をノントーシェントという。 1 から20までの値は以下の通りである。 :1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 8, 8, 16, 6, 18, 8,…() 1761年にレオンハルト・オイラーが発見したとされるが、それより数年前に日本の久留島義太が言及したとも言われる。 == 性質 == ''p'' を素数とすると、1 から ''p'' − 1 のうちに ''p'' の素因子である ''p'' を因子として含むものは存在しないから φ(''p'') = ''p'' − 1 が成り立つ。さらに、''k'' を自然数としたとき、 1 から ''pk'' の中で ''p'' を因子として含むもの、すなわち ''p'' の倍数は ''pk-1'' 個あるから、 :$\backslash varphi(p^k)\; =\; p^k\; -\; p^\; =\; p^(p\; -\; 1)\; =\; p^k\backslash left(1\; -\; \backslash frac\backslash right)$ が成立することが確かめられる。また、''m'', ''n'' を互いに素な自然数とすると、φ(''mn'') = φ(''m'')φ(''n'') が成り立つ。これをオイラーの関数は（互いに素な数の積に関して）乗法的であると言う。これらのことからさらに、任意の自然数 ''n'' における値を知ることができる。実際に、''p''''k'' はどの二つも相異なる素因数であるとして、''n'' の素因数分解が次のように :$n\; =\; \backslash prod\_^d\; ^$ と与えられているならば、 :$\backslash varphi(n)\; =\; n\; \backslash prod\_^d\; \backslash left(1-\backslash frac\backslash right)$ によって φ(''n'') を計算することができる。 自然数 ''n'', ''d'' で ''d'' が ''n'' を割り切るものとすると、1 から ''n'' までの自然数のうち ''n'' との最大公約数が ''n''/''d'' であるものの数は φ(''d'') 個である。特に、1 から ''n'' までの自然数は ''n'' との最大公約数によって類別されるから、''d'' が ''n'' の正の約数全てをわたる和に関して等式 :$\backslash sum\_\; \backslash varphi(d)\; =\; n$ が成り立つ（''d'' | ''n'' は ''d'' が ''n'' を割り切るの意）。 ''G'' を位数 ''n'' の巡回群とすれば、''n'' の約数 ''d'' に対して ''G'' の位数 ''d'' の元は φ(''d'') 個存在する。特に、巡回群 ''G'' の生成元になりうる元は φ(''n'') 個存在する。 自然数 ''a'', ''m'' (1 ≤ ''a'' < ''m'') とするとき、剰余環 Z/''m''Z に属する剰余類 ''a'' + ''m''Z が既約、つまり Z/''m''Z の単数である必要十分な条件は代表元 ''a'' が ''m'' と互いに素であることであるから、既約剰余類の数は φ(''m'') に等しい。同じことだが、群 ''G'' の位数を #''G'', 環 ''R'' の単数群を ''R''× で表すとき、等式 :$\backslash varphi(m)\; =\; \backslash sharp(\backslash mathbb/m\backslash mathbb)^\backslash times$ が成立する。これは特に、オイラーの定理 $a^\; \backslash equiv\; 1\backslash pmod\; m$ の成立を意味する。また同じ式から、1 の ''m'' 乗根で原始的であるものの一つを ζ とし、既約剰余類群 (Z/''m''Z)×を円分拡大 Q(ζ)/Q のガロア群と見れば φ(''m'') が円の ''m'' 分多項式の次数に等しいことも従う。 ''n'' > 1 ならば φ(''n'') < ''n'' である。また、''n'' > 3 ならば :$\backslash varphi(n)\backslash geq\; e^\backslash cfrac$ が成り立つ。もし ''n''=2×3×5×7×11×13×17×19×23でなければ2.50637のかわりに2.5とおくことができる。 σ(''n'') を約数関数とすると、''n'' > 1において、 : が成り立つ。 ''x'' が1より大きい奇数の時、''x'' はノントーシェントである。また、偶数であるノントーシェントは無数に存在する事が知られている。φ(''n'') = ''x''となる''n''が存在するならば、それは少なくとも2つ存在するだろうと予想されているが、未だに証明されていない。一方、任意の ''k'' > 1 に対して、 φ(''n'') = ''x'' となる ''n'' の個数がちょうど ''k'' 個であるような ''x'' は無数に存在することが知られている。'Z に属する剰余類 ''a'' + ''m''Z が既約、つまり Z/''m''Z の単数である必要十分な条件は代表元 ''a'' が ''m'' と互いに素であることであるから、既約剰余類の数は φ(''m'') に等しい。同じことだが、群 ''G'' の位数を #''G'', 環 ''R'' の単数群を ''R''× で表すとき、等式 :$\backslash varphi(m)\; =\; \backslash sharp(\backslash mathbb/m\backslash mathbb)^\backslash times$ が成立する。これは特に、オイラーの定理 $a^\; \backslash equiv\; 1\backslash pmod\; m$ の成立を意味する。また同じ式から、1 の ''m'' 乗根で原始的であるものの一つを ζ とし、既約剰余類群 (Z/''m''Z)×を円分拡大 Q(ζ)/Q のガロア群と見れば φ(''m'') が円の ''m'' 分多項式の次数に等しいことも従う。 ''n'' > 1 ならば φ(''n'') < ''n'' である。また、''n'' > 3 ならば :$\backslash varphi(n)\backslash geq\; e^\backslash cfrac$ が成り立つ。もし ''n''=2×3×5×7×11×13×17×19×23でなければ2.50637のかわりに2.5とおくことができる。 σ(''n'') を約数関数とすると、''n'' > 1において、 : が成り立つ。 ''x'' が1より大きい奇数の時、''x'' はノントーシェントである。また、偶数であるノントーシェントは無数に存在する事が知られている。φ(''n'') = ''x''となる''n''が存在するならば、それは少なくとも2つ存在するだろうと予想されているが、未だに証明されていない。一方、任意の ''k'' > 1 に対して、 φ(''n'') = ''x'' となる ''n'' の個数がちょうど ''k'' 個であるような ''x'' は無数に存在することが知られている。 Q のガロア群と見れば φ(''m'') が円の ''m'' 分多項式の次数に等しいことも従う。 ''n'' > 1 ならば φ(''n'') < ''n'' である。また、''n'' > 3 ならば :$\backslash varphi(n)\backslash geq\; e^\backslash cfrac$ が成り立つ。もし ''n''=2×3×5×7×11×13×17×19×23でなければ2.50637のかわりに2.5とおくことができる。 σ(''n'') を約数関数とすると、''n'' > 1において、 : が成り立つ。 ''x'' が1より大きい奇数の時、''x'' はノントーシェントである。また、偶数であるノントーシェントは無数に存在する事が知られている。φ(''n'') = ''x''となる''n''が存在するならば、それは少なくとも2つ存在するだろうと予想されているが、未だに証明されていない。一方、任意の ''k'' > 1 に対して、 φ(''n'') = ''x'' となる ''n'' の個数がちょうど ''k'' 個であるような ''x'' は無数に存在することが知られている。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「オイラーのφ関数」の詳細全文を読む スポンサード リンク 翻訳と辞書 : 翻訳のためのインターネットリソース Copyright(C) kotoba.ne.jp 1997-2016. All Rights Reserved.