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オイラーのφ函数 : ミニ英和和英辞書
オイラーのφ函数[すう, かず]
=====================================
〔語彙分解〕的な部分一致の検索結果は以下の通りです。

: [ちょうおん]
 (n) long vowel mark (usually only used in katakana)
函数 : [かんすう]
 (oK) (n) function (e.g., math, programming, programing)
: [すう, かず]
  1. (n,n-suf) number 2. figure 

オイラーのφ函数 ( リダイレクト:オイラーのφ関数 ) : ウィキペディア日本語版
オイラーのφ関数[おいらーのとーしぇんとかんすう]

オイラーのトーシェント関数(オイラーのトーシェントかんすう、)は各正の整数 ''n'' に対して、1 から ''n'' までの自然数のうち ''n'' と互いに素なものの個数を φ(''n'') として与えることによって定まる数論的関数 φ である。慣例的に φ(''n'') と表記されるため、オイラーの φ 関数(ファイかんすう、)とも呼ばれる。また、簡略的にオイラーの関数と呼ぶこともある。
例えば、1, 2, 3, 4, 5, 6 のうち 6 と互いに素なのは 1, 5 の 2 個であるから、定義によれば φ(6) = 2 である。また例えば 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 のうち 7 以外は全て 7 と互いに素だから、φ(7) = 6 と定まる。なおトーシェント関数の値域に含まれない自然数をノントーシェントという。
1 から20までの値は以下の通りである。
:1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 8, 8, 16, 6, 18, 8,…()
1761年レオンハルト・オイラーが発見したとされるが、それより数年前に日本久留島義太が言及したとも言われる。
== 性質 ==
''p'' を素数とすると、1 から ''p'' − 1 のうちに ''p'' の素因子である ''p'' を因子として含むものは存在しないから φ(''p'') = ''p'' − 1 が成り立つ。さらに、''k'' を自然数としたとき、 1 から ''pk'' の中で ''p'' を因子として含むもの、すなわち ''p'' の倍数は ''pk-1'' 個あるから、
:\varphi(p^k) = p^k - p^ = p^(p - 1) = p^k\left(1 - \frac\right)
が成立することが確かめられる。また、''m'', ''n'' を互いに素な自然数とすると、φ(''mn'') = φ(''m'')φ(''n'') が成り立つ。これをオイラーの関数は(互いに素な数の積に関して)乗法的であると言う。これらのことからさらに、任意の自然数 ''n'' における値を知ることができる。実際に、''p''''k'' はどの二つも相異なる素因数であるとして、''n'' の素因数分解が次のように
:n = \prod_^d ^
と与えられているならば、
:\varphi(n) = n \prod_^d \left(1-\frac\right)
によって φ(''n'') を計算することができる。
自然数 ''n'', ''d'' で ''d'' が ''n'' を割り切るものとすると、1 から ''n'' までの自然数のうち ''n'' との最大公約数が ''n''/''d'' であるものの数は φ(''d'') 個である。特に、1 から ''n'' までの自然数は ''n'' との最大公約数によって類別されるから、''d'' が ''n'' の正の約数全てをわたる和に関して等式
:\sum_ \varphi(d) = n
が成り立つ(''d'' | ''n'' は ''d'' が ''n'' を割り切るの意)。
''G'' を位数 ''n'' の巡回群とすれば、''n'' の約数 ''d'' に対して ''G'' の位数 ''d'' のは φ(''d'') 個存在する。特に、巡回群 ''G'' の生成元になりうる元は φ(''n'') 個存在する。
自然数 ''a'', ''m'' (1 ≤ ''a'' < ''m'') とするとき、剰余環 Z/''m''Z に属する剰余類 ''a'' + ''m''Z が既約、つまり Z/''m''Z の単数である必要十分な条件は代表元 ''a'' が ''m'' と互いに素であることであるから、既約剰余類の数は φ(''m'') に等しい。同じことだが、群 ''G'' の位数を #''G'', 環 ''R'' の単数群を ''R''× で表すとき、等式
:\varphi(m) = \sharp(\mathbb/m\mathbb)^\times
が成立する。これは特に、オイラーの定理 a^ \equiv 1\pmod m の成立を意味する。また同じ式から、1 の ''m'' 乗根で原始的であるものの一つを ζ とし、既約剰余類群 (Z/''m''Z)×を円分拡大 Q(ζ)/Q のガロア群と見れば φ(''m'') が円の ''m'' 分多項式の次数に等しいことも従う。
''n'' > 1 ならば φ(''n'') < ''n'' である。また、''n'' > 3 ならば
:\varphi(n)\geq e^\cfrac
が成り立つ。もし ''n''=2×3×5×7×11×13×17×19×23でなければ2.50637のかわりに2.5とおくことができる。
σ(''n'') を約数関数とすると、''n'' > 1において、
:\frac < \varphi(n) \sigma(n) < n^2
が成り立つ。
''x'' が1より大きい奇数の時、''x'' はノントーシェントである。また、偶数であるノントーシェントは無数に存在する事が知られている。φ(''n'') = ''x''となる''n''が存在するならば、それは少なくとも2つ存在するだろうと予想されているが、未だに証明されていない。一方、任意の ''k'' > 1 に対して、 φ(''n'') = ''x'' となる ''n'' の個数がちょうど ''k'' 個であるような ''x'' は無数に存在することが知られている。'Z に属する剰余類 ''a'' + ''m''Z が既約、つまり Z/''m''Z の単数である必要十分な条件は代表元 ''a'' が ''m'' と互いに素であることであるから、既約剰余類の数は φ(''m'') に等しい。同じことだが、群 ''G'' の位数を #''G'', 環 ''R'' の単数群を ''R''× で表すとき、等式
:\varphi(m) = \sharp(\mathbb/m\mathbb)^\times
が成立する。これは特に、オイラーの定理 a^ \equiv 1\pmod m の成立を意味する。また同じ式から、1 の ''m'' 乗根で原始的であるものの一つを ζ とし、既約剰余類群 (
Z/''m''Z)×を円分拡大 Q(ζ)/Q のガロア群と見れば φ(''m'') が円の ''m'' 分多項式の次数に等しいことも従う。
''n'' > 1 ならば φ(''n'') < ''n'' である。また、''n'' > 3 ならば
:\varphi(n)\geq e^\cfrac
が成り立つ。もし ''n''=2×3×5×7×11×13×17×19×23でなければ2.50637のかわりに2.5とおくことができる。
σ(''n'') を約数関数とすると、''n'' > 1において、
:\frac < \varphi(n) \sigma(n) < n^2
が成り立つ。
''x'' が1より大きい奇数の時、''x'' はノントーシェントである。また、偶数であるノントーシェントは無数に存在する事が知られている。φ(''n'') = ''x''となる''n''が存在するならば、それは少なくとも2つ存在するだろうと予想されているが、未だに証明されていない。一方、任意の ''k'' > 1 に対して、 φ(''n'') = ''x'' となる ''n'' の個数がちょうど ''k'' 個であるような ''x'' は無数に存在することが知られている。
Q のガロア群と見れば φ(''m'') が円の ''m'' 分多項式の次数に等しいことも従う。
''n'' > 1 ならば φ(''n'') < ''n'' である。また、''n'' > 3 ならば
:\varphi(n)\geq e^\cfrac
が成り立つ。もし ''n''=2×3×5×7×11×13×17×19×23でなければ2.50637のかわりに2.5とおくことができる。
σ(''n'') を約数関数とすると、''n'' > 1において、
:\frac < \varphi(n) \sigma(n) < n^2
が成り立つ。
''x'' が1より大きい奇数の時、''x'' はノントーシェントである。また、偶数であるノントーシェントは無数に存在する事が知られている。φ(''n'') = ''x''となる''n''が存在するならば、それは少なくとも2つ存在するだろうと予想されているが、未だに証明されていない。一方、任意の ''k'' > 1 に対して、 φ(''n'') = ''x'' となる ''n'' の個数がちょうど ''k'' 個であるような ''x'' は無数に存在することが知られている。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
ウィキペディアで「オイラーのφ関数」の詳細全文を読む




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