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射影代数多様体 : ミニ英和和英辞書
射影代数多様体[しゃえい]
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〔語彙分解〕的な部分一致の検索結果は以下の通りです。

射影 : [しゃえい]
 (n,vs) (gen) (math) projection
: [かげ]
 【名詞】 1. shade 2. shadow 3. other side 
: [よ, しろ]
 【名詞】 1. world 2. society 3. age 4. generation 
代数 : [だいすう]
 (n) algebra
: [すう, かず]
  1. (n,n-suf) number 2. figure 
数多 : [あまた, かずおおい, すうた]
  1. (adj-na,adv,n) many 2. a lot 3. much 4. multitude
: [た]
  1. (n,pref) multi- 
多様 : [たよう]
  1. (adj-na,n) diversity 2. variety 
: [よう]
  1. (adj-na,n-adv,n) way 2. manner 3. kind 4. sort 5. appearance 6. like 7. such as 8. so as to 9. in order to 10. so that 1 1. yang 1
様体 : [ようたい]
 【名詞】 1. appearance 2. condition

射影代数多様体 ( リダイレクト:射影多様体 ) : ウィキペディア日本語版
射影多様体[しゃえいたようたい]

代数幾何学では、代数的閉体 k 上の射影多様体(projective variety)とは、k 上の射影 n-空間 Pn の部分集合で、k に係数を持つ n + 1 変数の斉次多項式の族の零点の軌跡となっていて、多様体の定義イデアルの素イデアルを生成するものを言う。素イデアルを生成するという条件の付いていない場合は、そのような集合を射影代数的集合(projective algebraic set)と呼ぶ。同じことであるが、代数多様体が射影的とは、ザリスキー位相が閉である Pn部分多様体として埋め込むことができる。射影多様体のザリスキー位相が開である部分多様体を(quasi-projective variety)という。

X が斉次素イデアル I により定義された射影多様体であれば、商環
:k\ldots, x_n /I
は X の斉次座標環と呼ばれる。環は X の(埋め込みに依存する)重要な不変量であるヒルベルト多項式 P から来る。P の次数は、X の位相次元 r であり、主要項の係数に r! をかけると多様体 X の(degree)である。X が滑らかであれば、X の算術種数は、(−1)r (P(0) − 1) である。例えば、 Pn の同時座標環は、k\ldots, x_n であり、ヒルベルト多項式は P(z) = \binom であり、算術種数は 0 である。

射影多様体 X のもうひとつの重要な不変量として、ピカール群 \operatorname(X) があり、X のラインバンドルの同型類である。ピカール群は H^1(X, ^
*) に同型であり、埋め込みに対して独立な本質的な考え方である。例えば、Pn のピカール群は次数写像を通し Z と同型である。\operatorname: \operatorname(X) \to \mathbf の核は X のヤコビ多様体と呼ばれる。(滑らかな)曲線のヤコビ多様体は、曲線の研究で重要な役目を果たす。

古典と現代の分類プログラムは、自然に射影多様体のモジュライの構成を導く。 ヒルベルトスキームは射影スキームであり、ヒルベルト多項式により記述された Pn の部分スキームをパラメトライズすることに使われる。例えば、(Grassmannian) \mathbb(k, n) は特別なヒルベルト多項式を持つヒルベルトスキームである。幾何学的不変式論は別のアプローチをもたらす。古典的アプローチは、(Teichmüller space)と(Chow varieties)の方法を意味する。

複素射影多様体に対しては、代数幾何学と複素解析幾何学のアプローチが合体する。周の定理は、射影多様体の部分集合が正則函数の零点の軌跡であることと、斉次多項式の零点であることとは同値であることを言っている。(この定理の系として、「コンパクト」な複素空間にはただ一つの多様体の構造が入ることが分かる。)GAGA は、正則ベクトルバンドル(さらに一般的には、解析的連接層)が X 上に入り、代数的ベクトルバンドルと一致する。

== 例 ==

*2つの射影空間の(fibered product)は射影的である。実際、明らかな埋め込みが存在する((Segre embedding)と呼ばれる)。
::\mathbf^n \times \mathbf^m \to \mathbf^, (x_i, y_j) \mapsto x_iy_j  (辞書式順序).
:このことから射影多様体のファイバー積は射影的であることが従う。
*余次元 1 の Pn のすべての既約閉部分集合は、超平面である。すなわち、いくつかの既約な斉次多項式の零点の集合である。〔これは、Pn の斉次座標環は一意分解整域であり、一意分解整域内の高さ 1 の素イデアルは主イデアルであるからである。〕
* 次数 d の超曲線の算術種数は \mathbf^n 内で \binom である。特に、 P2 の次数 d の滑らかな曲線は、算術種数 (d-1)(d-2)/2 である(種数公式)。
*(smooth curve)が射影的であることと、曲線が(complete)であることとは同値である。これは次のように考えることで分かる。F が滑らかな射影曲線 C の函数体(代数函数体と呼ばれる)であれば、C は k 上の F の離散的付値環の集合と同一視でき、この集合は自然に(Zariski–Riemann space)と呼ばれるザリスキー位相を持つ。曲線のさらに特別な例については、代数曲線を参照。
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