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ベルヌーイ数 (ベルヌーイすう、Bernoulli number) は数論における基本的な係数を与える数列であり、もともと、連続する整数のべき乗和を定式化する際の展開係数として1713年にヤコブ・ベルヌーイが著書 Ars Conjectandi (推測術) にて導入した〔Julian Havil, "オイラーの定数 ガンマ," 新妻弘 訳, 共立出版, 初版, pp.97-99, 2009.〕ことからこの名称がついた。 ベルヌーイ数は、べき乗和の展開係数にとどまらず、級数展開の係数や剰余項、リーマンゼータ関数においても登場する。また、ベルヌーイ数はすべてが有理数である。 == 定義 == ベルヌーイ数 は下に示すマクローリン展開 (テイラー展開) の展開係数として定義される。 :: この定義から、関数 を繰り返し微分していけばベルヌーイ数を得ることができるが、そのような手段でベルヌーイ数を得るのは容易ではない。 ベルヌーイ数を計算するには、マクローリン展開ではなく、次の漸化式を用いる。この漸化式から、ベルヌーイ数がすべて有理数であることがわかる。 :: ここで、は二項係数 (二項定理 参照) である。 上の漸化式を用いて、ベルヌーイ数を第 29 項までを算出すると下表のようになる。 この表には、ベルヌーイ数が有理数であるので、分子と分母を記載している。 ベルヌーイ数の漸化式は、上記の関数 の逆数をテイラー展開し、その 2 つの積が 1 になることから導出できる。その漸化式は厳密な計算には有用であるが、 が大きくなると途中の式の値が非常に大きくなるため、浮動小数点数を使って計算する場合、精度が著しく悪くなる計算として知られている。 奇数番目のベルヌーイ数は 以外はすべて 0 であり、偶数番目は を除いて正の数と負の数が交互に並ぶ。 ベルヌーイ数の第 3 項以降の奇数項が 0 となることは、正接関数 (tangent) のマクローリン展開から証明〔正接関数のマクローリン展開の結果において、実数変数を仮定した場合、ベルヌーイ数の第 3 項以降の奇数項は虚数項に対応する。 実数変数における正接関数が実数関数でなければならないので、そのマクローリン展開に虚数項に対応する項が存在してはならない。 よって、ベルヌーイ数の第3項以降の奇数項はゼロでなければならない。〕できる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ベルヌーイ数」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Bernoulli number 」があります。 スポンサード リンク
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