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リーマンゼータ関数 : ミニ英和和英辞書
リーマンゼータ関数[りーまんぜーたかんすう]
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〔語彙分解〕的な部分一致の検索結果は以下の通りです。

: [ちょうおん]
 (n) long vowel mark (usually only used in katakana)
: [せき, ぜき]
 (suf) honorific added to names of makuuchi and juryo division sumo wrestlers
関数 : [かんすう]
 (n) function (e.g., math, programming, programing)
: [すう, かず]
  1. (n,n-suf) number 2. figure 

リーマンゼータ関数 : ウィキペディア日本語版
リーマンゼータ関数[りーまんぜーたかんすう]

数学におけるリーマンゼータ関数(リーマンゼータかんすう、)とは、
: \zeta (s)=\sum^_ \frac
で表される関数 ''ζ'' のことである。素数分布の研究を始めとした解析的整数論における重要な研究対象であり、数論や力学系の研究を初め数学や物理学の様々な分野で用いられているゼータ関数と呼ばれる一連の関数のうち、最も歴史的に古いものである。リーマンのゼータ関数とも呼ばれる。
ガンマ関数を用いれば、リーマンゼータ関数を
とも定義できる。
すでにオイラーがこの関数を考察して主に特殊値に関する重要な発見をしていたが、のちにより重要な貢献をしたリーマンが用いたギリシャ文字ζ による表記に因み、リーマンゼータ関数と呼ぶ。上記級数は ''s'' の実部が 1 より真に大きい複素数のときに収束する( のとき調和級数である)が、解析接続によって を一位の極としそれ以外のすべての複素数において正則有理型関数となる。
== ゼータ関数の特殊値 ==
ゼータ関数に整数を代入したものをゼータ定数またはゼータ関数の特殊値と言う。任意の正の偶数 2''n'' について
: \zeta (2n)=(-1)^ \, \frac
と表せる。ここで、''B'' はベルヌーイ数である。また、''n'' ≥ 1 の時、
: \zeta (-n)=-\frac
が成り立つ。''s'' が負の偶数であれば ''ζ''(''s'') = 0 であり、これらをリーマン・ゼータ関数の自明な零点と呼ぶ。これらの表示はオイラーによる。
具体的には、

\zeta (0)=-\frac
\zeta (2)=\sum^_ = =1.6449\dots(→バーゼル問題
\zeta (4)=\sum^_ = =1.0823\dots
\zeta (6)=\sum^_ = =1.0173\dots
\zeta (8)=\sum^_ =\frac =1.00407\dots
\zeta (10)=\sum^_ =\frac =1.000994\dots
\zeta (12)=\sum^_ =\frac =1.000246\dots
\zeta (14)=\sum^_ =\frac =1.0000612\dots

が成り立つ。ここで、
: \zeta (2n) = \eta_n \, \pi^
とおくと、

\eta_1 = \frac
\eta_n =\sum_^ (-1)^ \, \frac +(-1)^ \, \frac

が成り立つ。この漸化式はベルヌーイ数の漸化式から導かれる。
''s'' が正の奇数のときの ''ζ''(''s'') を表す簡潔な表現は得られていない。それでもラマヌジャンなどは次のような表示式を得ている。
: \zeta (2n+1)=2^\, \pi^ \sum^_ (-1)^ \, \frac \, \frac -2 \! \sum^_ \frac
小さい正の奇数については、

\zeta(1)=\sum^_ = \infty (→調和級数
\zeta (3)=\sum^_ = 1.20205\dotsアペリーの定数
\zeta (5)=\sum^_ = 1.03692\dots
\zeta (7)=\sum^_ = 1.00834\dots
\zeta (9)=\sum^_ = 1.002008\dots

などが数値的に成り立っている。これらに関して、

\zeta (3)=\frac \left\
\zeta (5)=\frac\,\pi^5 -\frac \sum_^\infty \frac-\frac \sum_^\infty \frac
\zeta (5)=12\sum_^\infty \frac -\frac \sum_^\infty \frac -\frac \sum_^\infty \frac
\zeta (7)=\frac\, \pi^7 -2\sum_^\infty \frac

という級数が知られている。アペリーの定理によると ''ζ''(3) は無理数である(1978年、ロジェ・アペリ)。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
ウィキペディアで「リーマンゼータ関数」の詳細全文を読む




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