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対角関手 : ミニ英和和英辞書
対角関手[たいかくかんしゅ]
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〔語彙分解〕的な部分一致の検索結果は以下の通りです。

: [つい]
 【名詞】 1. pair 2. couple 3. set 
: [つの]
 【名詞】 1. horn 
: [せき, ぜき]
 (suf) honorific added to names of makuuchi and juryo division sumo wrestlers
: [て]
 【名詞】 1. hand 

対角関手 : ウィキペディア日本語版
対角関手[たいかくかんしゅ]

圏論において、 a\times a が存在する任意の \mathcal の任意の対象 a に対して、
:\pi_k \circ \delta_a = id_a for k \in \
を満たす対角射 (diagonal morphism)
:\delta_a : a \rightarrow a \times a
存在する。ただし \pi_kk 次成分へのである。この射の存在は(同型を除いて)積を普遍性の結果である。ここでの二項の積への制限は表記の簡単さのためである。対角射は同様に任意の積に対して存在する。の対角射のは、カルテジアン積部分集合として、定義域上の関係、すなわち等式である。
に対して、対角射は対象 a の元 x 上のその作用によって単純に記述することができる。すなわち、\delta_a(x) = \langle x,x \ranglex から形成される順序対。名前の理由はそのような対角射のは(それが意味をなすときにはいつでも)対角線であるということである。例えば実数直線上の対角射 \mathbb \rightarrow \mathbb^2 の像は方程式 y=xグラフである直線によって与えられる。無限積 X^\infty の中への対角射は X に値を持つ数列空間の中への単射を提供するだろう。各元はその元での定値に写す。しかしながら、列空間の大抵の概念は対角写像の像が満たさない収束の制限をもつ。
特に、は積をもち、したがって \Delta(a) = \langle a,a \rangle によって与えられる対角関手 (diagonal functor) \mathcal \rightarrow \mathcal \times \mathcal があり、これは対象と射を写す。関手は圏 \mathcal ''の中で'' (within) 対象の積の簡明な別の記述を与えるために雇うことができる: 積 a \times b\Delta から \langle a,b \rangle への普遍矢である。矢は射影写像からなる。
より一般に、任意の \mathcal^\mathcal において(ここで \mathcal はとして考えられるべきである)、\mathcal の各対象 a に対して、固定された対象 a をもつが存在する: \Delta(a) \in \mathcal^\mathcal。対角関手 \Delta : \mathcal \rightarrow \mathcal^\mathcal\mathcal の各対象に関手 \Delta(a) を割り当て、\mathcal の各射 f: a \rightarrow b に明らかな自然変換 \eta in \mathcal^\mathcal\eta_j = f によって与えられる)を割り当てる。\mathcal が 2 つの対象を持つ離散圏である場合には、対角関手 \mathcal \rightarrow \mathcal \times \mathcal がリカバーされる。
対角関手は関手の極限余極限を定義する方法を提供する。任意の関手 \mathcal : \mathcal \rightarrow \mathcal の極限は \Delta から \mathcal へのであり、余極限は普遍矢 F \rightarrow \Delta である。\mathcal から \mathcal へのすべての関手が極限をもてば(\mathcal が完備であればこの場合である)、極限を取る操作はそれ自身 \mathcal^\mathcal から \mathcal への関手である。極限関手は対角関手の右随伴である。同様に、(圏が余完備であれば存在する)余極限関手は対角関手の左随伴である。例えば、上で記述された対角関手 \mathcal \rightarrow \mathcal \times \mathcal は二項の積の関手の左随伴と二項の余積の関手の右随伴である。



抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
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