|
===================================== 〔語彙分解〕的な部分一致の検索結果は以下の通りです。 ・ 半 ： [はん] 1. (n,n-adv,n-suf,n-pref) half ・ 環 ： [わ, かん] 【名詞】 1. circle 2. ring 3. link 4. wheel 5. hoop 6. loop
抽象代数学において、半環（はんかん、）とは環に類似した代数的構造で、環の公理から加法的逆元の存在を除いたようなもののことである。負元 (negative) の無い環 (ring) ということから rig という用語もしばしば用いられる。 == 定義 == 半環は、以下の性質を満たす二つの二項演算、即ち加法（和）"+" と乗法（積）"·" とを備えた集合 ''R'' を言う〔Berstel & Perrin (1985), 〕： # (''R'', +) は単位元 0 を持つ可換モノイドを成す: ## (''a'' + ''b'') + ''c'' = ''a'' + (''b'' + ''c''), ## 0 + ''a'' = ''a'' + 0 = ''a'', ## ''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a''. # (''R'', ·) は単位元 1 を持つモノイドを成す: ## (''a'' · ''b'')· ''c'' = ''a'' ·(''b'' · ''c''), ## 1 · ''a'' = ''a'' · 1 = ''a''. # 乗法は加法の上に分配的である: ## ''a'' ·(''b'' + ''c'') = (''a'' · ''b'') + (''a'' · ''c''), ## (''a'' + ''b'')· ''c'' = (''a'' · ''c'') + (''b'' · ''c''). # 0-倍は ''R'' を零化する: ## 0 · ''a'' = ''a'' · 0 = 0. 上記公理の最後の条件は、環の場合には他の公理から自動的に従うので要求から落とされるが、ここでは環でない半環をも扱い、この場合は他から導くことができないので明示的に要求しておく必要がある。 以上より、半環が環とは異なる点はその加法が単に可換モノイドであればよく、可換群を成すことまでは要求されないことであると言える。 通例、乗法の記号は省略して ''a'' · ''b'' は単に ''ab'' と記し、また演算の優先順位として乗法は加法 "+" に優先するものと約束する（例えば は の意である）。 乗法が可換な半環は可換半環 (''commutative semiring'') と言う。冪等半環 (''idempotent semiring'', dioid) は（乗法ではなく）加法が冪等演算となる（つまり、任意の ''a'' が、''a'' + ''a'' = ''a'' を満たす）半環を言う。言い換えれば、冪等半環の加法モノイド (''R'', +, 0) は零付き結び半束を成す。 文献によっては半環が 0 や 1 を持つことを仮定しないものもある。このような扱いをすると、「環と半環との関係」が「群と半群との関係」の類似対応物としてより捉えやすくなるという利点がある。この場合、本項で言うところの「半環」の概念を特に ''rig'' と呼んで呼び分けるのが普通である。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「半環」の詳細全文を読む スポンサード リンク
|