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フロベニウス準同型 : ウィキペディア日本語版
フロベニウス自己準同型[ふろべにうすじこじゅんどうけい]

可換環論体論では、フロベニウス自己準同型 (Frobenius endomorphism) (フェルディナント・ゲオルク・フロベニウス (Ferdinand Georg Frobenius) の名前にちなむ)は、有限体を含む重要なクラスである素数の標数 をもつ可換の特別な自己準同型のことを言う。この自己準同型写像は、全ての元を -乗冪へ写像する。ある脈絡では、自己同型として正しいこともあるが、一般には正しくはない。

==定義==
を標数が素数 の可換環(例えば、正標数の整域は必ず素数標数である)とする。フロベニウス自己準同型写像 ''F'' は、''R'' の任意の元 ''r'' に対し、
:F(r) = r^p
により定義される。明らかに、''R'' の乗法と整合的であり、つまり
:F(rs) = (rs)^p = r^ps^p = F(r)F(s)
が成り立ち、 は明らかに再度 1 となる。しかしながら、一方で、 の加法性についても、興味深いことが言える。表現 は二項定理を使い表すことができる。 は素数であるので、 を割ることができるが、 に対しいかなる も割ることはできない。従って、 であれば、pは次の二項係数の式により、、
:\frac
の分子を割ることはできるが、分母を割ることはできない。
従って、 と を除く全ての項の係数は、標数である で割り切れ、それらはなくなる。〔このことは(Freshman's dream)として知られている。〕 このように、
:F(r + s) = (r + s)^p = r^p + s^p = F(r) + F(s)
となる。このことは、F が環準同型であることを示している。
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