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数学の特に線型代数学において正規行列（せいきぎょうれつ、）は、複素数に成分をとる正方行列であって、自身のエルミート共軛と可換となるような行列を言う。式で書けば、複素正方行列 が正規であるとは、 : が成り立つことを言う。ただし、 の共軛転置を で表した。 成分が実数の行列 に対しては が成り立つから、それが正規であるのは が成り立つときである。 正規性に対しては、対角化可能性を調べるのが便利である。すなわち、行列が正規であるための必要十分条件は、それが対角行列とユニタリ行列に関して相似となることである。即ち、 を満たす任意の行列 は対角化可能である。 正規行列の概念は無限次元ヒルベルト空間上の正規作用素の概念、および ''C''∗-環における正規元の概念に拡張することができる。行列の場合には正規性は可換性を保つが、非可換な状況に置いても拡張は可能である。これにより、正規作用素や ''C''∗-環の正規元は、より解析学と馴染む。 == 特別な場合 == 複素行列の中でもユニタリ行列、エルミート行列、歪エルミート行列はすべて正規であり、実行列の場合に直交行列、対称行列、歪対称行列はいずれも正規である。しかし全ての正規行列がこれらのうちの何れかに分類されるというわけではない。例えば行列 : は正規だが、ユニタリでもエルミートでも歪エルミートでもない。 二つの正規行列の和や積は必ずしも正規ではないが、その二つが可換であるときには正規になる。 ''A'' が三角行列でも正規行列でもあるならば、 は対角行列である。これは ''A'' が三角でも正規でもあるときの および の対角成分をみればわかる。具体的に を上半三角として、 および は任意の対角成分が等しいから、第 1-行のノルムと第 1-列のノルムは等しく : が成り立つ。故に第 1-行と第 1-列の成分は等しく、第 1-列の 2 番目から ''n'' 番目までの項は（上半三角だから）0 であり、従って第 1-行もそうである。同じことを 2 番目から ''n'' 番目までの行と列の組に対して行えば ''A'' が対角行列となることがわかる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「正規行列」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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