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数学では、リーマン予想は最も重要な予想の一つである。リーマン予想は、リーマンゼータ函数のゼロ点に関する予想である。様々な幾何学的、数論的対象がいわゆる大域的L-函数により記述することができる。大域的L-函数は形式的にはリーマンゼータ函数と似ているであるので、これらのL-函数のゼロ点に対しての同じ問いを投げかけると、リーマン予想の様々な一般化が得られる。多くの数学者はこれらの一般化されたリーマン予想が正しいと信じている。（数体の場合ではなく）函数体の場合のみが、すでにこれらの予想が証明されている。 大域的L-函数は、楕円曲線や数体（この場合は、デデキントゼータ函数と呼ばれる）、マース形式やディリクレ指標（この場合はディリクレのL-函数と呼ばれる）に付随している。リーマン予想がデデキントのゼータ函数に対して定式化されているとき、拡張されたリーマン予想(EGH)(extended Riemann hypothesis)として知られていて、ディリクレのL-函数に対して定式化されているときに、一般化されたリーマン予想(GRH)(generalized Riemann hypothesis)として知られている。これらの 2つの予想は以下にさらに詳しく議論する。（多くの数学者は、一般化されたリーマン予想という名称を、ただ単にディリクレのL-函数という特殊な場合だけではなく、全ての大域的なL-函数へリーマン予想を拡張したものとして使う。） == 一般化されたリーマン予想(GRH) == （ディリクレのL-函数に対する）一般化されたリーマン予想は、(Adolf Piltz)により1884年に最初に定式化された〔Davenport, p. 124.〕。元のリーマン予想のように、素数の分布について深い内容を持ってる。 予想の公式の定式化は次のようになる。ディリクレ指標とは、(completely multiplicative)な数論的函数 χ であり、ある正の整数 k が存在し、全ての n に対し χ(n + k) = χ(n) であり、gcd(n, k) > 1 のときはいつも χ(n) = 0 であるような χ のことをいう。そのような指標が与えられると、対応するディリクレのL-函数(Dirichlet L-function)を次のように定義することができる。全ての実部が 1 より大きな複素数 s に対し、解析接続により、函数 : は、全複素平面で定義された有理型函数へ拡張することができる。一般化されたリーマン予想は、全てのディリクレ指標 χ と L(χ,s) = 0 である s に対し、s の実部が 0 と 1 の間にあれば、s の実部は 1/2 となるであろうという予想である。 全ての n に対し χ(n) = 1 の場合がリーマンの予想である。
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