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ラグランジュの四平方和定理 : ミニ英和和英辞書
ラグランジュの四平方和定理[らぐらん]
=====================================
〔語彙分解〕的な部分一致の検索結果は以下の通りです。

ラグラン : [らぐらん]
 (n) raglan, (n) raglan
ラン : [らん]
 【名詞】 1. (1) run 2. (2) LAN (local area network) 3. (P), (n) (1) run/(2) LAN (local area network)
: [よん]
  1. (num) four 
: [たいら, ひら]
 【名詞】 1. the broad 2. the flat 3. palm
平方 : [へいほう]
 【名詞】 1. square (e.g., metre) 2. square 
平方和 : [へいほうわ]
 (n) sum of squares
: [ほう]
  1. (n-adv,n) side 2. direction 3. way 
: [わ]
 【名詞】 1. (1) sum 2. (2) harmony 3. peace 
定理 : [ていり]
 【名詞】 1. theorem 2. proposition
: [り]
 【名詞】 1. reason 

ラグランジュの四平方和定理 ( リダイレクト:四平方定理 ) : ウィキペディア日本語版
四平方定理[よんへいほうていり]
数学において、ラグランジュの四平方定理(Lagrange's four square theorem)は、全ての自然数が高々四個の平方数の和で表されることを主張する定理である〔Wolfram Mathworld: Lagrange's Four-Square Theorem 〕。これはフェルマーの多角数定理の四角数の場合に当たり、ウェアリングの問題の二次の場合に当たる。ヤコビの四平方定理(Jacobi's -)は自然数を高々四個の平方数の和で表す方法の数を与える定理である。
== ラグランジュの四平方定理の証明 ==
初めに奇素数pについて証明する。p-1p平方剰余であれば、
:\begin
&s_1^2\equiv-1\;(\operatorname\;p)\\
&s_1^2+1^2+0^2+0^2\equiv0\;(\operatorname\;p)\\
\end
となるs_1が存在する。p-1が平方非剰余であれば、1\lekが平方剰余、k+1が平方非剰余となるものが存在する。(-1)(k+1)は二個の平方非剰余の積であるから平方剰余である。従って、
:\begin
&s_1^2+s_2^2\equiv=-1\;(\operatorname\;p)\\
&s_1^2+s_2^2+1^2+0^2\equiv0\;(\operatorname\;p)\\
\end
となるs_1,s_2が存在する。いずれにしても、
:s_1^2+s_2^2+s_3^2+s_4^2=fp
は解を持つ。その解の中でfが最小になるものを選ぶとf=1であることを証明する。f>1を逆に仮定して背理法を用いる。fが偶数であれば、s_1,s_2,s_3,s_4の順序を適当に選ぶと\pm\pmが共に偶数になり、
:\left(\frac\right)^2+\left(\frac\right)^2+\left(\frac\right)^2+\left(\frac\right)^2=\frac=\fracp
であるから最小のfを選んだという仮定に背く。故にfは奇数である。fを法とするs_1,s_2,s_3,s_4の最小剰余をt_1,t_2,t_3,t_4とすると
:t_1^2+t_2^2+t_3^2+t_4^2\equiv\equiv\pmod
:t_1^2+t_2^2+t_3^2+t_4^2=ef\le
もしも====0ならば\equiv\equiv\equiv\equiv0\;(\bmod\;f)であるからs_1^2+s_2^2+s_3^2+s_4^2=fp\;(\bmod\;f^2)である。これはpが素数であるという仮定に背くから\ge1である。四平方恒等式により
:\begin(fp)(ef)
&=(s_1^2+s_2^2+s_3^2+s_4^2)(t_1^2+t_2^2+t_3^2+t_4^2)\\
&=(s_1t_1+s_2t_2+s_3t_3+s_4t_4)^2+(s_1t_2-s_2t_1+s_3t_4-s_4t_3)^2+(s_1t_3-s_2t_4-s_3t_1+s_4t_2)^2+(s_1t_4+s_2t_3-s_3t_2-s_4t_1)^2
\end
\equiv\;(\bmod\;f)であるから\equiv\equiv\;(\bmod\;f)であり、他の項も同様であるから
:\left(\frac\right)^2+\left(\frac\right)^2+\left(\frac\right)^2+\left(\frac\right)^2=ep
を得る。これは最小のfを選んだという仮定に背く。故にf=1でなければならない。
以上により、全ての奇素数が高々四個の平方数の和で表されることが証明されたが、偶素数2=1^2+1^2も自明である。オイラーの四平方恒等式
:\begin
(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2)
=&(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+a_4b_4)^2\\
+&(a_1b_2-a_2b_1+a_3b_4-a_4b_3)^2\\
+&(a_1b_3-a_2b_4-a_3b_1+a_4b_2)^2\\
+&(a_1b_4+a_2b_3-a_3b_2-a_4b_1)^2
\end
により、各々高々四個の平方数の和に表される二数の積は高々四個の平方数の和に表される。従って、全ての合成数も高々四個の四角数の和に表される。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
ウィキペディアで「四平方定理」の詳細全文を読む

英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Lagrange's four-square theorem 」があります。




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