|
解析学において、ノルム (, ) は、平面あるいは空間における幾何学的ベクトルの "長さ" の概念の一般化であり、ベクトル空間に対して「距離」を与えるための数学の道具である。ノルムの定義されたベクトル空間を線型ノルム空間または単にノルム空間という。 : ものによっては絶対値や賦値（附値、付値）と呼ばれることもある。また、体の拡大におけるノルムや、多元環に対する被約ノルムと本質的に同じものである。 == 定義 == ''K'' を実数体 R または複素数体 C （あるいは絶対値を備えた任意の位相体）とし、''K'' 上のベクトル空間 ''V'' を考える。このとき任意の ''a'' ∈ ''K'' と任意の u, v ∈''V'' に対して、 # 独立性: ‖v‖ = 0 ⇔ v = 0 # 斉次性: ‖''a''v‖ = |''a''|‖v‖ # 劣加法性: ‖u + v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v‖ を満たすような関数 ‖•‖: ''V'' → R; x → ‖x‖ を ''V'' のノルムと呼ぶ。ベクトル空間 ''V'' と ''V'' 上のノルム ‖•‖ との組 (''V'', ‖•‖) をノルム ‖•‖ を備えたベクトル空間あるいは簡単にノルム付きの線型空間、ノルム空間などと呼び、紛れのおそれの無い場合はノルムを省略して単に ''V'' で表す。(なお、‖v‖ ≥ 0 (正定値性)を定義の内に含めることが多いが、この性質は劣加法性から導くことができる。) : ノルムのとる値の集合としては R を、同様の条件を議論しうるもう少し一般の順序体や順序群に取り替えることもある。離散賦値などは有理整数環 Z の加法群（に同型なアーベル群）を値群とするようなノルムである。 ノルムの定義から独立性を除いたものを満足する函数 ''p'': ''V'' → R を半ノルム と呼ぶ。 # 劣加法性: ‖u + v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v‖ を満たすような関数 ‖•‖: ''V'' → R; x → ‖x‖ を ''V'' のノルムと呼ぶ。ベクトル空間 ''V'' と ''V'' 上のノルム ‖•‖ との組 (''V'', ‖•‖) をノルム ‖•‖ を備えたベクトル空間あるいは簡単にノルム付きの線型空間、ノルム空間などと呼び、紛れのおそれの無い場合はノルムを省略して単に ''V'' で表す。(なお、‖v‖ ≥ 0 (正定値性)を定義の内に含めることが多いが、この性質は劣加法性から導くことができる。) : ノルムのとる値の集合としては R を、同様の条件を議論しうるもう少し一般の順序体や順序群に取り替えることもある。離散賦値などは有理整数環 Z の加法群（に同型なアーベル群）を値群とするようなノルムである。 ノルムの定義から独立性を除いたものを満足する函数 ''p'': ''V'' → R を半ノルム と呼ぶ。 半ノルム と呼ぶ。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ノルム」の詳細全文を読む スポンサード リンク
|