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数学におけるノルム多元体（のるむたげんたい、; ノルム付き可除代数）は、乗法的なノルムを持つ多元体を言う。即ち、実または複素数体上のノルム多元体 ''A'' は、多元体であって、かつ任意の ''x'', ''y'' ∈ ''A'' に対して : を満たすノルム ǁ•ǁ 〔Porteous (1969) p.277〕に関してノルム線型空間の構造も持つ。 定義からは無限次元のノルム多元環と言うものも考えることができるが、実はこれは起こらない。実数体上のノルム多元体は同型の違いを除いて * 実数体 R, * 複素数体 C, * 四元数体 H, * 八元数体 O しかなく〔 〕、これはフルヴィッツの定理として知られる。上記のノルム多元体のノルムは何れも標準的な絶対値によって与えられる。最初の三つが結合多元環である一方、八元数体は弱い形の結合性しか持たず交代代数になることに注意。 複素数体上の結合的ノルム多元体（ノルム線型体）は複素数体それ自身のみである。 == 分類 == 実多元体の分類はフロベニウスに始まり、フルヴィッツが続いて、一般の形はツォルンによって完成された。このあたりの簡潔な歴史的概要は に見つかる〔 〕。 完全な証明は および にある。 基本的な考え方としては、多元環 ''A'' が 1 に比例するならばそれは実数体に同型であり、さもなくば 1 に比例する部分多元環に同型な部分多元環をケイリー・ディクソン構成を用いて拡張して、1 に直交するベクトル ''e'' を導入すれば、得られる部分多元環は複素数体に同型になる。それでも ''A'' 全体を尽くさないならば再びケイリー・ディクソン構成を適用して全複素数と直交するベクトルをとれば、四元数体に同型な部分多元環を得る。それでも全体を尽くさないならば、三度ケイリー・ディクソン構成によってケイリー数（八元数）体と同型な部分多元環を得るが、このとき ''A'' の 1 を含む ''A'' でない任意の部分多元環が結合的であることが定理としてわかっているので、結合的でない八元数体は従って ''A'' と一致しなければならない、という具合である。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ノルム多元体」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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