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コンパクト台 ( リダイレクト:台 (数学)#コンパクト台付きの函数 ) : ウィキペディア日本語版
台 (数学)[だい]

数学における、ある函数(だい、)とは、その函数の値が 0 とならない点からなる集合、あるいはそのような集合の閉包のことを言う。この概念は、解析学において特に幅広く用いられている。また、何らかの意味で有界な台を備える函数は、様々な種類の双対に関する理論において主要な役割を担っている。
== 定義 ==
与えられた集合 (多くの場合は実数直線 )に値をとる函数 が、 に台を持つ とは、その函数 が の外側 で常に消えていることを言う。このとき、 を部分集合として含む任意の集合( の拡大集合) に対して は に台を持つことになるのは明らかであるから、函数 の は、 が台を持つような の部分集合全ての交わりとして定義される。即ち、集合論的な意味でいう函数の台は
: \mathrm(f) := \
によって与えられる。解析学などの実際の文脈においては、交わりをとる部分集合に特定の望ましい性質(例えばコンパクト性など)を仮定することが多く、しばしばそれらの性質が台 自身に遺伝する。
; 有限台: 集合 を定義域とする函数 が有限な台 を持つとは、 が有限集合となること、即ち有限個の例外を除く全ての に対して を満たすことを言う。
; 閉台: 最もよくある状況というのが、 が(実数直線のような)位相空間で、 が連続函数となる場合で、この場合は が台を持つかどうかを閉集合に対してしか考えない。つまり、 がその外側で消えているような閉集合 が存在するとき、 は に(位相的な)台を持つと言う。この意味において、 の(位相的な意味での)台 は、 が台を持つ閉集合全ての交わりでありそれ自身が閉集合となる(任意個数の閉集合の交わりはやはり閉集合となるから)。これはまた集合論的な意味での台の閉包 に等しい。
; 値域の一般化: 零元 を含むような任意の集合 に対しても、写像 の台の概念は直ちに定義できる。これに対して乗法的な類似対応を考えるならば、単位元 を持つ任意の代数的構造(例えばモノイド) に対しても、(写像が消えているということについて) の代わりに を宛てることで写像の台を考えることができる。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
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英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Support (mathematics) 」があります。




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