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数学の関数解析学周辺分野におけるフレシェ空間（フレシェくうかん、）は、モーリス・フレシェに名を因む、位相空間の一種である。フレシェ空間は（ノルムの導く距離に関して完備なノルム付き線型空間である）バナッハ空間を一般化するもので、平行移動不変距離関数に関して完備な局所凸空間を言う。バナッハ空間との違いは、その距離がノルムから生じるものでなくともよいことである。 フレシェ空間の位相構造は、バナッハ空間のと比べてノルムがない分だけより複雑なものではあるけれども、ハーン・バナッハの定理や開写像定理、バナッハ・シュタインハウスの定理などの関数解析学における重要な結果の多くが、フレシェ空間においてもやはり成り立つ。 無限回微分可能関数の成す空間などは、フレシェ空間の典型例である。 == 定義 == フレシェ空間の定義には主に大きく二つの流儀があり、ひとつは平行移動不変距離を用いるもので、いまひとつは半ノルムの可算族を用いるものである。 位相線型空間 ''X'' がフレシェ空間であるとは、以下の三条件を満たすことを言う： * ''X'' は局所凸である。 * ''X'' の位相は平行移動不変距離（即ち、距離関数 ''d'': ''X'' × ''X'' → R で、任意の ''a'', ''x'', ''y'' に対して ''d''(''x'', ''y'') = ''d''(''x''+''a'', ''y''+''a'') を満たすもの）から導かれる。これは、''X'' の部分集合 ''U'' が開集合であることと、''U'' の各点 ''u'' に対して適当な ε > 0 を選べば、集合 が ''U'' に含まれるようにできることとが同値であることを意味する。 * ''X'' は先の ''d'' に関して完備距離空間である。 ここで注意すべきは、フレシェ空間の二点間の距離として自然なものは存在しないことで、多くの異なる平行移動不変距離が同じ位相を誘導しうる。 先の定義とは別に、ある意味でより実用的な定義が以下のように与えられる。位相線型空間 ''X'' がフレシェ空間であるとは以下の三条件を満たすことを言う： * ''X'' はハウスドルフ空間である。 * ''X'' の位相は半ノルムの可算族 ‖•‖''k'' (''k'' = 0,1,2,…) から誘導される。これは、''X'' の部分集合 ''U'' が開であることと、''U'' の各点 ''u'' において適当な ''K'' ≥ 0 と ε > 0 を選べば、集合 が ''U'' に含まれるようにすることができることとが同値となることを意味する。 * ''X'' はこの半ノルム族に関して完備である。 半ノルム族で定義されるフレシェ空間 ''X'' においては、''X'' 内の点列 (''xn'') が ''x'' に収束することと、その点列が所与の半ノルムの各々に関して ''x'' に収束することとが同値になる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「フレシェ空間」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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