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リー環の表現 : ミニ英和和英辞書
リー環の表現[げん]
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〔語彙分解〕的な部分一致の検索結果は以下の通りです。

: [ちょうおん]
 (n) long vowel mark (usually only used in katakana)
: [わ, かん]
 【名詞】 1. circle 2. ring 3. link 4. wheel 5. hoop 6. loop
: [ひょう]
  1. (n,n-suf) table (e.g., Tab 1) 2. chart 3. list 
表現 : [ひょうげん]
  1. (n,vs) (1) expression 2. presentation 3. (2) (gen) (math) representation 
: [げん]
  1. (pref) present 2. current

リー環の表現 ( リダイレクト:リー代数の表現 ) : ウィキペディア日本語版
リー代数の表現[りーだいすうのひょうげん]

数学の一分野である表現論では、リー代数の表現(リーだいすうのひょうげん、representation of a Lie algebra)は、リー代数行列の集合(ベクトル空間準同型)として記述する方法である。この方法により、リーブラケット交換子により与えられる。
考え方はリー群の表現の考え方と密接に関連する。大まかには、リー代数の表現は、リー群の表現の微分した形であり、一方、リー群の普遍被覆の表現は、リー代数の表現の積分した形である。
リー代数の表現の研究で、リー代数に付随する普遍包絡代数と呼ばれる特別なは、決定的役割を果たす。この環の構成の普遍性は、リー代数の表現の圏が、この普遍包絡代数上の加群の圏と同じであることを言っている。

==公式な定義==
リー代数 \mathfrak g表現は、\mathfrak g からベクトル空間 V 上の準同型のリー代数への(Lie algebra homomorphism)
:\rho\colon \mathfrak g \to \mathfrak(V)
であり、交換子をリーブラケットとして持ち、\mathfrak g の元 x を \mathfrak(V) の元 ρx へ写像する。
明らかに、このことは、\mathfrak g の中のすべての x,y に対し、
:\rho_ = = \rho_x\rho_y - \rho_y\rho_x
であることを意味する。ベクトル空間 V は、表現 ρ とともに、\mathfrak g-加群と呼ばれる(用語を省略し、V を表現ということも多い)。
表現 \rho が単射のとき、忠実(faithful)と呼ばれる。
同値な定義であるが、\mathfrak g-加群をベクトル空間 V と双線型写像 \mathfrak g \times V\to V と定義し、\mathfrak g の中のすべての x,y と V のすべての v に対して、
:\cdot v = x\cdot(y\cdot v) - y\cdot(x\cdot v)
であるように定義することもできる。この定義は、x を v = ρx (v) と置くと上の定義に関係付く。
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