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表現論（ひょうげんろん、）とは、ベクトル空間の線型変換として代数構造を表現することにより研究し、代数構造上の加群を研究する数学の一分野である〔表現論の古典的なテキストには や がある。他の優れた文献には や がある。〕。本質的には、表現は抽象的な代数的構造を、その元と演算を行列と行列の和や行列の積で記述することで、より具体的にする。この記述で扱われる代数的対象は、群や結合代数やリー代数がある。これらの中で最も優れているものは、歴史的にも最初に現れた群の表現論であり、群の演算が群の要素が行列の積により正則行列で表現されている〔有限群の表現論の歴史は、 を参照。代数群やリー群については、 を参照。〕。 表現論は、抽象代数学の問題を良く理解されている線型代数の問題へと帰着させるので、強力なツールである〔ベクトル空間や線型代数には多くの教科書がある。進んだ扱いをしている教科書は、を参照。〕。さらに、群が表現されているベクトル空間が無限次元ということも可能であり、例えば、ヒルベルト空間でも可能であり、群の表現論では函数解析の方法が群の理論へ適用可能となる〔.〕。表現論は物理学でも重要であり、例えば、物理系の対称群が、どのように物理系を記述する方程式の解へ影響するかを記述する〔.〕。 表現論の著しい特徴は、数学での広がりにある。そこには、2つの面があり、ひとつの面は、表現論の応用が多岐にわたっていることであり〔.〕、表現論が代数への影響のみならず、以下のような応用も持っている。 * 調和解析を通してフーリエ解析を広く一般化する〔.〕 * とエルランゲン・プログラムを通して深く幾何学とつながっている〔, , .〕。 * さらに、数論へは保型形式やラングランズ・プログラムを通して深く影響を持っている〔, .〕。 もうひとつの面は、表現論へのアプローチの広がりである。同じ対象が代数幾何学、加群の理論、解析的整数論、微分幾何学、作用素理論、(algebraic combinatorics)、トポロジーの方法で研究することができる〔See the previous footnotes and also .〕。 表現論の成功は、多くの一般化を生み出した。その一般的な理論は圏論の中にある〔.〕。適用する代数的対象を特別な圏として、表現論を対象のなす圏から(category of vector spaces)への函手を表現とみなすことができる。この記述には 2つの明白な一般化がある。ひとつは代数的対象をより一般的な圏により置き換えることが可能であり、第二には、ベクトル空間のなす圏が別の良く知られた圏に置き換えることが可能である。 ==定義と概念== V を体 F 上のベクトル空間とする〔。例えば、V が Rn や Cn のときは、それぞれ、実数や複素数上の列ベクトルの標準的な n-次元空間である。この場合、表現論の考え方は、抽象的な代数構造を実数や複素数の n × n 行列を使って具体化することである。
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