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数学において、有限加法族（ゆうげんかほうぞく、finitely additive class）あるいは集合体（しゅうごうたい、field of sets）、集合代数（しゅうごうだいすう、）とは、冪集合が集合演算について成すブール代数の部分代数のことである。つまり、集合 ''S'' 上の有限加法族 (''S'', F ⊂ 2''S'') は、F の任意の二つの集合 ''A'', ''B'' の結び ''A'' ∪ ''B'', 交わり ''A'' ∩ ''B'' および任意の集合 ''M'' の全体集合 ''S'' に対する補集合 ''M''''c'' = ''S'' − ''M'' を取る操作について閉じている。有限加法族は任意のブール代数を表現することができるという意味においてブール代数の表現論にとって本質的な対象である。''S'' 上の集合体 (''S'', F) に対して、''S'' の元を集合体の点、F の元を集合体の複体（; 叢）と呼ぶ。 == 定義 == 空でない集合 ''S'' 上の部分集合族 M ⊂ 2''S'' が和 ∪ と補集合をとる集合演算 c について閉じていて、和 ∪ に関する中立元 ∅ を持つとき、M を有限加法族または単に加法族と呼ぶ。 # ''A''1, ''A''2 ∈ M ⇒ ''A''1 ∪ ''A''2 ∈ M, # ''A'' ∈ M ⇒ ''A''c ∈ M, # ∅ ∈ M. また、M ⊂ 2''S'' が積 ∩ と対称差 Δ について閉じていて、積 ∩ に関する中立元 ''S'' を含むとき、M を集合体と呼ぶ。 # ''A''1, ''A''2 ∈ M ⇒ ''A''1 ∩ ''A''2 ∈ M, # ''A''1, ''A''2 ∈ M ⇒ ''A''1 Δ ''A''2 ∈ M, # ''S'' ∈ M. 有限加法族の条件は加法的な一つの演算 ∪ に関する構造に注目していて、集合体のほうは積 ∩ と対称差 Δ の二つの演算がつくる集合環の構造に注目しての命名であるが、この二つの定義の条件は互いに同値であり、これらはまったく同じ概念を定める。また、これら（が含む集合環の）の条件から帰納的に * * など、有限回の集合演算に関して閉じていることが示せる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「有限加法族」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Field of sets 」があります。 スポンサード リンク
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