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数学において、位相空間の部分集合の閉包（へいほう、）は、その部分集合の触点（部分集合の点とそれらの集積点）を全て集めて得られる集合である。直観的には、部分集合の触点とはその部分集合の「いくらでも近く」にある点と考えられる。閉包の概念は様々な意味で開核の概念の双対になっている。 == 定義 == === 触点 === ユークリッド空間の部分集合 ''S'' に対して、点 ''x'' が ''S'' の触点（閉包点）であるとは、''x'' を中心とする任意の開球体が必ず ''S'' の点を少なくとも一つ含むときにいう（''x'' が ''S'' に属するときは、所期の点として ''x'' 自身を選んでよい）。 この定義は「ユークリッド空間」の部分を「任意の距離空間 ''X''」に書き換えて直ちに一般化することができる。きちんと述べれば、距離 ''d'' を持つ距離空間 ''X'' に対して、''X'' の点 ''x'' が ''X'' の部分集合 ''S'' の触点であるとは、各 ''r'' > 0 に対して ''S'' の適当な点 ''y'' を選べば ''d''(''x'', ''y'') < ''r'' とできるときにいう（やはり ''y'' = ''x'' ととり得る）。これは、式で書けば ''x'' が : ''d''(''x'', ''S'') := inf = 0 を満たすことに他ならない。これをさらに「開球体」の代わりに「近傍」を考えて、一般の位相空間に対するものに一般化することができる。すなわち、位相空間 ''X'' の部分集合 ''S'' に対して、''X'' の点 ''x'' が ''S'' の触点であるとは、''x'' の任意の近傍が必ず ''S'' の点を少なくとも一つ含むときに言う（この定義は、近傍の定義にそれが開であることを含むか否かに依らない）。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「閉包 (位相空間論)」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Closure (topology) 」があります。
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