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数学における集積点（しゅうせきてん、）あるいは極限点（きょくげんてん、）は、位相空間 ''X'' の部分集合 ''S'' に対して定義される概念で、（''X'' の位相に関する ''x'' の任意の近傍が ''x'' 自身を除く ''S'' の点を含むという意味で）''S'' によって「近似」することができるような ''X'' の点 ''x'' を ''S'' の集積点と呼ぶ。このとき、集積点 ''x'' は必ずしも ''S'' の点でなくともよいということには留意すべきである。集積点の概念は極限の概念を適切に一般化するものであり、閉集合や閉包といった概念を下支えするものになっている。実際、集合が閉であることとそれが自身の集積点をすべて含むこととは同値であり、また集合に対する閉包作用はもとの集合にその集積点を付け加えることによる拡大操作として捉えることができる。 任意の有限区間または有界区間はそれが無限個の点を含むならば少なくとも一つの集積点を含まなければならないが、さらに有界区間が無限個の点とただ一つの集積点を含むならば、区間内の任意の無限列がその唯一の集積点に収束する。 == 定義 == 位相空間 ''X'' の部分集合 ''S'' に対し、''X'' の点 ''x'' が ''S'' の集積点であるとは、''x'' を含む任意の開集合が少なくとも一つの ''x'' と異なる ''S'' の点を含むときにいう。 この条件は ''T''1-空間においては、''x'' の任意の近傍が ''S'' の点を無限に含むという条件に同値である（この条件は、もとの定義が「開近傍」を用いて集積点の判定を行うところを、開に限らない「一般の近傍」を使って行うことができるので、しばしば有用である）。 あるいは空間 ''X'' がの場合には、''x'' ∈ ''X'' が ''S'' の集積点であるための必要十分条件は、''x'' を極限に持つような ''S'' ∖ の可算列が存在することである。それゆえ ''x'' は極限点と呼ばれる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「集積点」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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