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数学において、 次元の直交群（ちょっこうぐん、）とは、 次元ユークリッド空間上のある固定された点を保つような距離を保つ変換全体からなる群であり、群の演算は変換の合成によって与える。 と表記する。同値な別の定義をすれば、直交群とは、元が の実直交行列であり、群の積が行列の積によって与えられるものをいう。直交行列とは、逆行列がもとの行列の転置と等しくなるような行列のことである。 直交行列の行列式は か である。 の重要な部分群である特殊直交群 は行列式が である直交行列からなる。この群は回転群ともよばれ、例えば次元 2 や 3 では、群の元が表す変換は（2次元における）点や（3次元における）直線のまわりの通常の回転である。低次元ではこれらの群の性質は幅広く研究されている。 用語「直交群」は上の定義を一般化して、体上のベクトル空間における非退化な対称双線型形式や二次形式〔基礎体の標数が でなければ、対称双線型形式と二次形式のどちらを使っても同値である。〕を保つような、可逆な線形作用素全体からなる群を表すことがある。特に、体 上の 次元ベクトル空間 上の双線型形式がドット積で与えられ、二次形式が二乗の和で与えられるとき、これに対応する直交群 は、群の元が 成分 直交行列で群の積を行列の積で定めるものである。これは一般線形群 の部分群であって、以下の形で与えられる。 : ここで は の転置であり、 は単位行列である。 == 偶数次元と奇数次元 == 直交群の構造は偶数次元と奇数次元でいくつかの点で異っている。例えば、 のような順序体上では、元 （ は単位行列) は偶数次元では向きを保存するが奇数次元では反転させる。この区別を強調するときは、直交群を や と書くことがある。また、対応するリー代数のに対応することを念頭に置いて、文字 ''k'' のかわりに文字 ''p'' や ''r'' を使うこともある。あとで述べるように、対応するリー代数とは奇数次元では 偶数次元では である。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「直交群」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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