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代数学において、可換環の冪零根基（べきれいこんき、）とは環のすべての冪零元からなるイデアルである。 非可換環の場合、同じ定義では常にはうまくいかない。異なる方法で可換な場合を一般化させたいくつかの根基に行きつく。詳しくは記事「環の根基」を見よ。 リー環に対してが同様に定義される。 == 可換環 == 可換環の冪零根基は環のすべての冪零元からなる集合である。あるいは同じことだが、零イデアルの根基である。これはイデアルである、なぜなら任意の2つの冪零元の和は（二項定理により）冪零であり、任意の元と冪零元の積は（可換性により）冪零だからである。それはまた環のすべての素イデアルの共通部分として特徴づけることもできる。（実は、すべてのの共通部分である。） 環は0でない冪零元をもたないとき被約と呼ばれる。したがって、環が被約であるのはその冪零根基が0であるとき、かつそのときに限る。 ''R'' が任意の可換環であれば、その冪零根基による商は被約環であり、 と表記される。 すべての極大イデアルは素イデアルなので、ジャコブソン根基 — これは極大イデアルの共通部分である — は冪零根基を含まなければならない。環は ''R''/''P'' の冪零根基が ''R''/''P'' のジャコブソン根基と ''R'' のすべての素イデアル ''P'' について一致すれば、ジャコブソン環と呼ばれる。アルティン環はジャコブソン環であり、その冪零根基は環の極大冪零イデアルである。一般に、ベキ零根基が有限生成（例えば環がネーター的）ならば、それは冪零イデアルである。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「環の冪零根基」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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