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数学では、代数体 のガロア拡大 のガロア群 と整数環 の素イデアル を の素イデアルの積として分解する方法との間の関係は、代数的整数論の最も豊かな部分のひとつとなっている。ガロア拡大での素イデアルの分解は、ダフィット・ヒルベルトが貢献しているので、ヒルベルトの理論 (Hilbert theory) と呼ばれる。リーマン面の分岐被覆に対し、幾何学的な類似も存在していて、素イデアルの分解を考えるよりも の部分群の一種を考えることのほうがより容易である。この問題は、ヒルベルトよりも前から確かに知られてはいた。 == 定義 == ''L'' / ''K'' を数体の有限次拡大とし、''B'' と ''A'' をそれぞれ ''L'' と ''K'' に対応する整数環とする。整数環は、各々の体における整数環 Z の整閉包と定義する。 : 最後に、''p'' を ''A'' のゼロでない素イデアルとする、同じことであるが、極大イデアルであるとする。このとき剰余環 ''A''/''p'' は体である。 クルル次元が 1 である環の基本理論より、''p'' により生成された ''B'' のイデアル ''pB'' の分解は、一意に : と重複度 ''e''(''j'') を持つ互いに異なる極大イデアル ''Pj'' の積へと分解される。 重複度 ''e''(''j'') は ''p'' での拡大の分岐指数 (ramification index) と呼ばれる。それらが全て 1 に等しい場合、体の拡大 ''L''/''K'' は ''p'' で不分岐であると呼ぶ。 この場合は、中国の剰余定理により、商 : は、体 : の積となる。
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