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微分幾何学において、曲面上の与えられた点での 2つの主曲率(principal curvatures)は、その点での(Gauss map)の微分の 2つの固有値である。それらは、曲面がその点で別々な方向へどれくらい曲がっているかを測る。 ==要旨== 3次元ユークリッド空間の中の微分可能な曲面の各々の点 ''p'' では、法ベクトル(normal vector)を選ぶことができる。''p'' での(normal plane)は、法ベクトルを含んだ平面であり、従って、曲面の唯一の接方向を含み、(normal section)と呼ばれる平面曲線で曲面の断面を作る。この曲線は、一般には、点 ''p'' で異る法平面に対し異る曲率を持つ。''p'' での主曲率(principal curvatures)は、''k''1 と ''k''2 と書くことにすると、この曲率の最大値と最小値である。 ここに曲線の曲率は、定義により(osculating circle)の半径に反比例する。曲率は、曲面の選択された法線として曲線が同じ方向にあるときに正となり、そうでない場合は負となる。''k''1 が ''k''2 が等しくないとき、曲率が極大値や極小値を取るような法平面の方向は、常に垂直である。この事実はレオンハルト・オイラー(Leonhard Euler) (1760) の結果であり、主方向(principal directions)と呼ばれる。現代的な観点からは、対称テンソルの(principal axes) - (second fundamental form)であるので、この定理はスペクトル定理から従う。主曲率と主方向の系統的な解析は、ジャン・ガストン・ダルブー(Gaston Darboux)により(Darboux frame)を使って研究された。 2つの主曲率の積 ''k''1''k''2 がガウス曲率 ''K'' であり、平均 (''k''1 + ''k''2)/2 が(mean curvature) ''H'' である。 すくなくとも主曲率の片方が 0 であれば、ガウス曲率は 0 となり、曲面は可展面である。(minimal surface)に対し、平均曲率はすべての点で 0 である。
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