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翻訳と辞書　辞書検索 [ 開発暫定版 ] スポンサード リンク スペクトル定理 ： ミニ英和和英辞書 スペクトル定理[すぺくとるていり] ===================================== 〔語彙分解〕的な部分一致の検索結果は以下の通りです。 ・ 定理 ： [ていり] 　【名詞】 1. theorem　2. proposition ・ 理 ： [り] 　【名詞】 1. reason　 スペクトル定理 ： ウィキペディア日本語版 スペクトル定理[すぺくとるていり] 数学の、特に線型代数学や函数解析学の分野において、スペクトル定理（スペクトルていり、）とは、線型作用素あるいは行列に関する多くの結果である。大雑把に言うと、スペクトル定理は、作用素あるいは行列が対角化可能（すなわち、ある基底において対角行列として表現可能）となる条件を与えるものである。この対角化の概念は、有限次元空間上の作用素については比較的直ちに従うものであるが、無限次元空間上の作用素についてはいくつかの修正が必要となる。一般にスペクトル定理は、乗算作用素によって出来る限り簡単にモデル化される線型作用素のクラスを明らかにするものである。より抽象的に、スペクトル定理は可換なC *-環に関して述べたものである。その歴史的観点については、スペクトル理論を参照されたい。 スペクトル定理が適用できる作用素の例として、自己共役作用素や、より一般のヒルベルト空間上の正規作用素などがある。 スペクトル定理はまた、スペクトル分解（spectral decomposition）や固有値分解（eigenvalue decomposition）、（eigendecomposition）と呼ばれるような、作用素の定義されるベクトル空間のを与えるものである。 オーギュスタン＝ルイ・コーシーは、自己随伴行列に関するスペクトル定理を証明した。すなわち、すべての実対称行列は対角化可能であることを証明した。その定理のジョン・フォン・ノイマンによる一般化は、今日の作用素論におけるもっとも重要な結果となっている。またコーシーは、行列式に関する系統的な理論を構築した第一人者である〔Cauchy and the spectral theory of matrices by Thomas Hawkins 〕〔A Short History of Operator Theory by Evans M. Harrell II 〕。 この記事では主に、ヒルベルト空間上の自己共役作用素に関する、最も簡単な種類のスペクトル定理について述べる。しかし、上記のように、スペクトル定理はヒルベルト空間上の正規作用素についても成立するものである。 == 有限次元の場合 == === エルミート写像とエルミート行列 === 初めに C''n'' あるいは R''n'' 上のエルミート行列を考える。より一般に、ある正定値エルミート内積を備える有限次元の実あるいは複素内積空間 ''V'' 上のエルミート作用素を考える。エルミート条件とは :$(\backslash forall\; x,y\backslash in\; V):\; \backslash langle\; A\; x\; ,\backslash ,\; y\; \backslash rangle\; =\; \backslash langle\; x\; ,\backslash ,\; A\; y\; \backslash rangle$ のことを言う。これと同値な条件として、''A'' * = ''A'' がある。ただし ''A'' * は ''A'' のエルミート共役である。''A'' があるエルミート行列と見なされるとき、''A'' * の行列はその共役転置と見なされる。''A'' が実行列であるなら、このことは ''A''T = ''A'' と同値である（すなわち、A は対称行列）。 この条件より容易に、エルミート写像のすべての固有値は実数であることが分かる。実際、''x'' = ''y'' が固有ベクトルの場合に条件を適用すればよい（ここである線型写像 ''A'' の固有ベクトルとは、あるスカラー ''λ'' に対して ''Ax'' = ''λx'' を満たすような（非ゼロの）ベクトル ''x'' であったことに注意されたい。そのような値 ''λ'' は対応する固有値であり、それらは特性多項式の解である）。 定理： ''A'' の固有値で構成される ''V'' のある正規直交基底が存在する。そのような固有値はすべて実数である。 以下では、考えているスカラー体が複素数である場合の証明の概略を紹介する。 代数学の基本定理を ''A'' の特性多項式に適用することで、少なくとも一つの固有値 λ1 と対応する固有ベクトル ''e''1 が存在することが分かる。このとき :$\backslash lambda\_1\; \backslash langle\; e\_1,\; e\_1\; \backslash rangle\; =\; \backslash langle\; A\; (e\_1),\; e\_1\; \backslash rangle\; =\; \backslash langle\; e\_1,\; A(e\_1)\; \backslash rangle\; =\; \backslash bar\backslash lambda\_1\; \backslash langle\; e\_1,\; e\_1\; \backslash rangle$ が成立するので、そのような λ1 は実数であることが分かる。今、''e''1 の直交補空間 ''K'' = span⊥ を考える。エルミート性により、''K'' は ''A'' の不変部分空間である。''K'' に対しても上述と同様の議論を行うことで、''A'' はある固有ベクトル ''e''2 ∈ ''K'' を持つことが分かる。あとは帰納的にこの操作を有限回繰り返すことで、証明は完成される。 スペクトル定理はまた、有限次元の実内積空間の上の対称写像に対しても成立する。しかしその場合、固有ベクトルの存在は代数学の基本定理からは直ちに従わない。その存在を証明する最も簡単な方法として、''A'' をエルミート行列と考え、エルミート行列のすべての固有値は実数であるという事実を利用するものがある。 ''A'' の固有ベクトルを正規直交基底として選ぶと、その基底のもとで ''A'' は対角行列として表現される。または同値であるが、''A'' はスペクトル分解（spectral decomposition）と呼ばれるペアとなる直交射影の線型結合として表現される。今 :$V\_\backslash lambda\; =\; \backslash$ を固有値 ''λ'' に対応する固有空間とする。この定義は特定の固有ベクトルの選び方に依らないことに注意されたい。''V'' は、その添え字が固有値全体であるような空間 ''V''λ の直交直和である。''P''λ を ''V''λ の上への直交射影とし、''λ''1, ..., ''λ''''m'' を ''A'' の固有値とすることで、そのスペクトル分解は次のように記述される。 :$A\; =\backslash lambda\_1\; P\_\; +\backslash cdots+\backslash lambda\_m\; P\_.\; \backslash ,$ スペクトル分解は、シュール分解および特異値分解の特殊例である。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「スペクトル定理」の詳細全文を読む スポンサード リンク 翻訳と辞書 : 翻訳のためのインターネットリソース Copyright(C) kotoba.ne.jp 1997-2016. All Rights Reserved.