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ブラウワーの不動点定理（ブラウワーのふどうてんていり、）は、位相幾何学における不動点定理で、ライツェン・ブラウワーの名にちなむ。この定理では、コンパクト凸集合からそれ自身への任意の連続函数 ''f'' に対して、''f''(''x''0) = ''x''0 を満たす点 ''x''0、すなわち不動点が存在することが述べられている。ブラウワーの定理の最も簡単な形式のものは、実数直線内の閉区間 ''I'' あるいは閉円板 ''D'' からそれ自身への連続函数 ''f'' に対するものである。後者に対するより一般のものは、ユークリッド空間の凸コンパクト部分集合 ''K'' からそれ自身への連続函数に対するものである。 不動点定理は数多く存在する〔E.g. F & V Bayart ''Théorèmes du point fixe '' on Bibm@th.net〕が、中でもブラウワーの不動点定理は数学の多くの分野をまたいで利用されるため、非常に有名である。元々の分野において、この結果はジョルダン曲線定理、およびとともにユークリッド空間のトポロジーを特徴付ける重要な定理となっている〔See page 15 of: D. Leborgne ''Calcul différentiel et géométrie'' Puf (1982) ISBN 2-13-037495-6〕。このため、この定理は位相幾何学における基礎的な定理に位置付けられている〔More exactly, according to Encyclopédie Universalis: ''Il en a démontré l'un des plus beaux théorèmes, le théorème du point fixe, dont les applications et généralisations, de la théorie des jeux aux équations différentielles, se sont révélées fondamentales.'' Luizen Brouwer by G. Sabbagh〕。この定理はまた、微分方程式の重要な結果を証明するために用いられ、微分幾何学の入門的なほとんどの課程において扱われている。この定理はまた、ゲーム理論のような分野でも用いられている。経済学において、ブラウワーの不動点定理とその拡張である角谷の不動点定理は、1950年代にノーベル経済学賞受賞者のケネス・アローとジェラール・ドブルーによって示されたように、マーケット経済の一般均衡の存在の証明で中心的な役割を果たしている。 この定理ははじめ、アンリ・ポアンカレとエミール・ピカールを中心とするフランスの数学者によって微分方程式の観点から研究されていた。ポアンカレ＝ベンディクソンの定理のような結果を証明する上で、位相幾何学的な手法を利用することが求められていた。19世紀末においてこの研究は、いくつかの定理を証明するに至った。一般的な場合は1910年にジャック・アダマール〔Jacques Hadamard: ''Note sur quelques applications de l’indice de Kronecker '' in Jules Tannery: ''Introduction à la théorie des fonctions d’une variable'' (Volume 2), 2nd edition, A. Hermann & Fils, Paris 1910, pp. 437–477 (French)〕とライツェン・ブラウワー〔L. E. J. Brouwer ''Über Abbildungen von Mannigfaltigkeiten '' Mathematische Annalen 71, pp. 97–115, (German; published 25 July 1911, written July 1910)〕によって証明された。 == 内容 == この定理には、使用される文脈と一般化の程度に応じて、いくつかの異なるヴァージョンがある。最も簡単なものは次である： :;平面における定理: 閉円板からそれ自身へのすべての連続函数は少なくとも一つの不動点を持つ〔D. Violette ''Applications du lemme de Sperner pour les triangles '' Bulletin AMQ, V. XLVI N° 4, (2006) p 17.〕。 これは任意の有限次元空間に対して次のように一般化される： :;ユークリッド空間における定理: ユークリッド空間の閉球からそれ自身へのすべての連続函数は不動点を持つ〔Page 15 of: D. Leborgne ''Calcul différentiel et géométrie'' Puf (1982) ISBN 2-13-037495-6.〕。 より一般的な場合は次である〔ユークリッド空間のすべてのコンパクトな凸部分集合は、同じ次元の閉球と位相同型であるため、この場合の定理は一つ前の場合のものから直ちに従う；を参照。〕： :;コンパクト凸集合における定理: ユークリッド空間のコンパクト凸部分集合 ''K'' からそれ自身へのすべての連続函数は不動点を持つ〔V. & F. Bayart ''Point fixe, et théorèmes du point fixe '' on Bibmath.net.〕。 より一般的な場合は、次のような異なる名前で知られている： :;シャウダーの不動点定理: バナッハ空間のコンパクト凸部分集合 ''K'' からそれ自身へのすべての連続函数は不動点を持つ〔C. Minazzo K. Rider ''Théorèmes du Point Fixe et Applications aux Equations Différentielles '' Université de Nice-Sophia Antipolis.〕。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ブラウワーの不動点定理」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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