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===================================== 〔語彙分解〕的な部分一致の検索結果は以下の通りです。 ・ 定理 ： [ていり] 【名詞】 1. theorem 2. proposition ・ 理 ： [り] 【名詞】 1. reason
初等的な集合論において、カントールの定理 (Cantor's theorem) は次のように述べている。任意の集合 ''A'' に対して、''A'' のすべての部分集合の集合（''A'' の冪集合）は ''A'' 自身よりも真に大きい濃度を持つ。有限集合に対して、カントールの定理は下に与えられる証明よりもはるかにシンプルな証明によって正しいと確かめることができる。''n'' 個の要素からなる集合に対して、空部分集合、ただ 1 つの要素を持つ ''A'' の部分集合、etc. を数えて、 個の部分集合があり、部分集合の集合の濃度は明らかに大きい。。しかし定理は無限集合にも正しい。特に、可算無限集合の冪集合は非可算無限である。定理はドイツ人数学者ゲオルク・カントール (Georg Cantor) にちなんで名づけられている。彼が最初にそれを述べ証明した。 ==証明== 2 つの集合がである（同じ濃度を持つ）こととそれらの間に一対一対応が存在することは同値である。カントールの定理を証明するには任意の与えられた集合 ''A'' に対して、''A'' から ''A'' の冪集合へのどんな関数 ''f'' も全射になりえないことを示せば十分である。すなわち ''f'' のもとでの ''A'' の像の元でない ''A'' の少なくとも 1 つの部分集合の存在を示せば十分である。そのような部分集合は次の構成によって与えられる： : これが意味するのは定義によってすべての ''x'' ∈ ''A'' に対して ''x'' ∈ ''B'' ⇔ ''x'' ∉ ''f''(''x'') ということである。すべての ''x'' に対して集合 ''B'' と ''f''(''x'') は同じにはなり得ない、なぜならば ''B'' は（''f'' による）像が自信を含まないような ''A'' の元から構成されていたからである。より具体的には、任意の ''x'' ∈ ''A'' を考えると、''x'' ∈ ''f''(''x'') かまたは ''x'' ∉ ''f''(''x'') である。前者の場合には ''f''(''x'') は ''B'' に等しくなれない、なぜなら仮定により ''x'' ∈ ''f''(''x'') であり ''B'' の構成から ''x'' ∉ ''B'' だからである。後者の場合には ''f''(''x'') は ''B'' に等しくなれない、なぜなら仮定により ''x'' ∉ ''f''(''x'') であり ''B'' の構成により ''x'' ∈ ''B'' だからである。 したがって ''f''(''x'') = ''B'' なる ''x'' は存在しない； 言い換えると ''B'' は ''f'' の像に入っていない。''B'' は ''A'' の冪集合に入っているから、''A'' の冪集合は ''A'' 自身よりも大きい濃度を持っている。 証明について考える別の方法は ''B'' は空でも空でなくてもつねに ''A'' の冪集合に入っていることである。''f'' が全射であるためには ''A'' のある元は ''B'' に写らなければならない。しかしそれは矛盾を導く： ''B'' のどんな元も ''B'' に写れない、なぜならそれは ''B'' の元の判定法に矛盾するからで、したがって ''B'' に写る元は ''B'' の元であってはいけなくて、つまりそれは ''B'' の元の判定条件を満たし、別の矛盾。なので ''A'' のある元が ''B'' に写るという仮定は誤りでなければならない； そして ''f'' は全射ではありえない。 式 "''x'' ∉ ''f''(''x'')" における ''x'' の二重の出現のためにこれは対角線論法である。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「カントールの定理」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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