|
数学におけるC *-環（しーすたーかん、）とは複素数体上の完備なノルム環で複素共役に類似の作用をもつものであり、フォン・ノイマン環と並ぶ作用素環論の主要な研究対象である。C *-代数（シースターだいすう）とも呼ばれる。1943年のGel'fand-Naimarkと1946年のRickartの研究によって公理系が与えられた。'C *-algebra' という用語は1947年にSegalによって導入された。 C *-環はその内在的な構造のみにもとづいて公理的に定義されるが、実はどんな C *-環もヒルベルト空間上の線形作用素のなす環で、随伴操作とノルムに関する位相で閉じたものとして実現されることが知られている。また、可換なC *-環を考えることは局所コンパクト空間上の複素数値連続関数環を考えることになり、その連続関数環からはもとの位相空間を復元できるので、可換 C *-環の理論は局所コンパクト空間の理論と等価だといえる。一般の C *-環は、群（あるいは亜群）など、幾何学的な文脈に現れながら普通の空間とは見なされないようなものを包摂しうる変形（「量子化」）された空間を表していると考えることもできる。 == 定義 == 集合 ''A'' は以下のような構造を持つとき C *-環と呼ばれる。 # ''A'' は 複素数体 C 上の多元環（代数） である。 #対合 (involution) と呼ばれる''A''からそれ自身への全単射写像 *: ''a'' → ''a'' * があって、 # * (λ''a'' + μ''b'') * = λ''a'' * + μ''b'' *, # * (''ab'') * = ''b'' *''a'' *, # * (''a'' *) * = ''a'' # ''A'' には ノルム ||·|| が存在し、任意の ''a'', ''b'' ∈ ''A'' について # * ||''ab''|| ≤ ||''a''|| ||''b''|| # 任意の ''a'' ∈ ''A'' についてノルムの C *-性 (C *-property of the norm): # * ||''a'' *''a''|| = ||''a''||2 一般的には上の条件 1, 2 を満たすものを *-環 ( *-algebra) あるいは対合（付き）環、条件 1, 3 を満たすものをバナッハ環 (Banach algebra) あるいは省略して B-環、条件 1, 2, 3 を満たすものをバナッハ *-環 (Banach *-algebra) という。すなわち C *-環とはバナッハ *-環でノルムの C *-性を満たすものである。一般の C *環は乗法の単位元 1 を持つことを仮定されないが、乗法の単位元を持つようなC *環は単位的 (unital) であると言われる。 C *-環 ''A'' と ''B'' について、''A'' から ''B'' への環の準同型写像 ''f'' で対合作用 " *" を保つものは C *-環の準同型、または *-準同型とよばれる。実は ''f'' に対する代数的な仮定から ''f'' がノルム1以下の（特に、連続な）線形写像であることが従う。とくに、与えられたC *環に対してその *-構造と両立するノルムは1つしか存在しない。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「C*-環」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 C*-algebra 」があります。 スポンサード リンク
|