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数学においてネーター環（ネーターかん、）は、イデアルの昇鎖条件などのある種の有限性を持つ環の一種。エミー・ネーターによって提唱された。すべてのイデアルは有限生成という条件から単項イデアル整域の一般化と見ることもできる。 == 定義 == 環に対して、以下の 3 条件は同値である。 #（昇鎖条件）：左イデアルの任意の昇鎖列は有限回で停止する。 #（極大条件）：左イデアルの空でない任意の族は包含関係に関する極大元を持つ。 #（有限型条件）：任意の左イデアルは有限生成。 これらの条件のどれか一つ、従って全部を満たす環は左ネーター的であるあるいは左ネーター環であるという。「左イデアル」を全て「右イデアル」に置き換えても同様のことが成り立ち、右ネーター環が定義される。左ネーター的かつ右ネーター的である環は両側ネーター環と呼ぶ（単にネーター環と呼ぶこともある）が、考えている環が可換環であれば左ネーター環あるいは右ネーター環は自然に両側ネーター環となる。ゆえにネーター的可換環は単にネーター環と呼ぶ（左右の区別が明確であって誤解の虞のない場合には、左ネーター的あるいは右ネーター的であることをネーター的と省略して呼ぶこともあるので、ネーター環という用語が必ずしも可換ネーター環を意味するものというわけではない）。 判定条件としては、任意の素イデアルが有限生成（コーエン）がある。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ネーター環」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Noetherian ring 」があります。 スポンサード リンク
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