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代数学において単項イデアル整域（たんこうイデアルせいいき、あるいは主イデアル整域、; PID）あるいは主環（しゅかん、）とは、任意のイデアルが単項イデアルであるような（可換）整域のことである。 より一般に、任意のイデアルが単項イデアルであるような（零環でない）可換環を単項イデアル環と呼ぶ（この場合、整域とは限らない、つまり零因子をもつかもしれない）が、文献によっては（例えばブルバキなどでは）「主（イデアル）環」という呼称によって、ここでいう「単項イデアル整域」のことを指している場合があるので注意が必要である。 == 例 == 単項イデアル整域の例を挙げる。以下では可換環 ''R'' の元 ''a''1, … ''a''''n'' の生成するイデアルを (''a''1, …, ''a''''n'') = と表す。 * Z: 整数環。 * Z: ガウスの整数環。 * Z: アイゼンシュタイン整数環。 * Z(''p''): 整数環の素イデアル (''p'') ≠ 0 における局所化。非自明なイデアルは (''p''''e'') の形で表せる。 * ''K'': 任意の体。 * ''K'': 体 ''K'' 上の一変数多項式環。実は逆も成り立つ（多項式環 ''A'' が PID となるならば ''A'' は体である）。 * ''K'' 単項イデアル整域とならない整域の例を挙げる。 * Z: 整数係数の一変数多項式環。たとえばイデアル (2, ''X'') は単項イデアルでない。 * ''K''''Y'' : 体 ''K'' 上の二変数多項式環。たとえばイデアル (''X'', ''Y'') は単項イデアルでない。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「単項イデアル整域」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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