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アイゼンシュタイン整数（アイゼンシュタインせいすう、Eisenstein integer）とは、フェルディナント・ゴットホルト・マックス・アイゼンシュタインにちなんで名付けられた複素数の一種である。正確には、整数 ''a'', ''b'' と1の原始3乗根 に対して ''a'' + ''b'' ω の形の複素数のことである。''b'' = 0 の場合は通常の整数を表すので、通常の整数もアイゼンシュタイン整数の一種である。区別のために、通常の整数は有理整数と呼ばれることもある。 アイゼンシュタイン整数全体の集合は Z と表し、これをアイゼンシュタイン整数環と呼ぶ。すなわち、 である。Z は複素数体 C の部分環であるから、整域である。 Q を有理数体とし、 と定義する。Z は Q の整数環である。Q は、典型的な代数体であるところの円分体や二次体の一種であるので、アイゼンシュタイン整数環は代数的整数論における最も基本的な対象の一つである。 == ノルム == アイゼンシュタイン整数 α = ''a'' + ''b'' ω は二次方程式 の根である（よってアイゼンシュタイン整数は代数的整数である）。この方程式のもう一つの根は ''a'' + ''b'' ω2 (= (''a'' - ''b'') - ''b'' ω) である。これを α の共役といい、α で表す（この場合、α は α の複素共役でもある）。方程式の係数に現れる、共役との和 2''a'' - ''b'' を α のトレース（英：trace、もしくはシュプール、独：Spur）、共役との積 ''a''2 - ''ab'' + ''b''2 を α のノルムという。すなわち、アイゼンシュタイン整数のノルムとは で与えられる非負の有理整数である。この値は 3 の倍数または 3 で割って 1 余る整数であることが容易に分かる。また、ノルムは絶対値の平方に等しいので、絶対値の乗法性よりノルムも乗法的性質を持つ。すなわち、2つのアイゼンシュタイン整数 α, β に対して が成り立つ。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「アイゼンシュタイン整数」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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