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類数 ( リダイレクト:代数体#類数 ) : ウィキペディア日本語版
代数体[だいすうたい]
代数体(だいすうたい、)とは、有理数体の有限次代数拡大体のことである。代数体 ''K'' の有理数体上の拡大次数 \scriptstyle を、''K'' の次数といい、次数が ''n'' である代数体を、''n'' 次の代数体という。
特に、2次の代数体を二次体、1のベキ根を添加した体を円分体という。
''K'' を ''n''次の代数体とすると、''K'' は単拡大である。つまり、''K'' の元 θ が存在して、''K'' の任意の元 α は、以下の様に表される。
このとき θ は ''n'' 次の代数的数であるので、''K'' を \scriptstyle\mathbb 上のベクトル空間とみたとき、\scriptstyle\基底となる。
== 整数環 ==
''n'' 次の代数体 ''K'' に含まれる代数的整数全体の集合を I_K とすると、以下のことが成立する。
# I_K整域である。このことより、I_Kを ''K'' の整数環 (ring of integers) という。
# I_K は、有理整数環上ランク ''n'' の自由加群である。つまり、I_K の元、\omega_1,\ldots,\ \omega_n が存在して、任意の I_K の元 α は、以下の形に一意的に表される。
\alpha = a_1\omega_1 + \cdots + a_\omega_n 。但し、a_1,\ldots,\ a_n は有理整数。
上記 \scriptstyle\ を ''K'' の整基底 (integral basis) または整数基という。
# I_K整閉である。つまり、''K'' の元 β に対して、
\beta^r + \alpha_\beta^\cdots + \alpha_1\beta + \alpha_0 = 0
となる ''K'' の元 \alpha_0,\ \alpha_1,\ldots,\ \alpha_ が存在するならば、β は、I_K の元である。
# I_Kデデキント環である。
# 一般に、I_K一意分解整域ではない。
特別な代数体の整数環については、その数論的性質が詳しく研究されており、特別な名称が付けられている。
; ガウス整数
: \scriptstyle\mathbb(\sqrt) の整数環、\scriptstyle\mathbb のことである。
; アイゼンシュタイン整数
: \scriptstyle\mathbb(\sqrt) の整数環、\scriptstyle\mathbb のことである。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
ウィキペディアで「代数体」の詳細全文を読む

英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Algebraic number field 」があります。




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