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シンプレクティックトポロジーや代数幾何学では、量子コホモロジー環(quantum cohomology ring)は、閉じたシンプレクティック多様体の通常のコホモロジー環の拡張である。量子コホモロジー環は2つのバージョンからなり、ひとつは小さな版と呼ばれ、もうひとつ大きな版と呼ばれる。一般に大きな版は小さな版よりも込み入った、詳細な情報を持っている。両方とも係数環の選択が（以下に述べるが、典型的にはノビコフ環の) 構造に重要な影響を持つ。 通常のコホモロジーのは、多様体の交叉理論により部分多様体が互いにどのようになっているかを記述するが、量子コホモロジーの量子カップ積は、部分空間がどのように｢曖昧｣に｢量子的な｣方法で交叉しているかを記述する。さらに詳しく述べると、もし一つ以上のを通して連結であれば、交叉しているということを意味する。グロモフ・ウィッテン不変量は、これらの曲線の数を数え、量子カップ積を拡張して考えると係数として現れる。 量子コホモロジー環はグロモフ・ウィッテン不変量のパターンや構造を表しているので、それは数え上げ幾何学の中で重要な意味を持っている。量子コホモロジー環は、また、数理物理学とミラー対称性の多くのアイデアとも関係している。特に、フレアーホモロジーに環同型である。 この記事を通して、X は閉シンプレクティック多様体を表し、ω はシンプレクティック形式を表すこととする。 ==ノビコフ環== X の量子コホモロジーの係数環は様々に選択ができる。普通、環の選択は、X 第二ホモロジーについての情報をエンコードするように選択される。こうすると、下記に定義する量子カップ積が X の中の擬正則曲線についての情報を記録することができるようになる。例えば、 : を第二ホモロジーのをとした商環とし、R を単位元を持つ任意の可換環とし、Λ を次の形の微分形式の形式的ベキ級数の環とする。 : ここに * 係数 は R から来る、 * は、を満たす形式的な変数、 * 全ての実数 C に対して、高々有限の A があり、C に等しいかまたは小さな ω(A) がゼロではない係数 を持つ。 変数 は次数 であると考えられ、ここに は、接バンドル TX の第一チャーン類であり、ω と整合性を持つ任意の概複素構造の選択で得られる複素ベクトルバンドルと考えられる。このようにすると、Λ は次数付き環で、ω のノビコフ環と呼ばれる。(別の定義も存在するが、同値である。) 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「量子コホモロジー」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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