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微分幾何学において、超ケーラー多様体(hyperkähler manifold)は、次元 4''k''次元のリーマン多様体で、(holonomy group)がSp(''k'')を含んでいる場合を言う（ここに、Sp(''k'') はシンプレクティック群のコンパクトな形を表していて、-次元の四元数エルミート空間の四元数線型ユニタリ自己準同型の群と同一視される）。超ケーラー多様体は、ケーラー多様体の特別なクラスで、ケーラー多様体の四元数と考えることができる。超ケーラー多様体はみな、リッチ平坦であり、従って、Sp(''k'') はSU(2''k'')の部分群であることから容易に分かるように、カラビ・ヤウ多様体である。 超ケーラー多様体は、エウジェニオ・カラビにより 1978年に定義された。 ==四元数構造== 超ケーラー多様体 ''M'' は、計量がケーラーであるということより、複素構造を持つ 2次元球面である（つまり、可積分な概複素構造を持つ）。 特に、そのような多様体は概四元数多様体であり、3つの異なる複素構造 ''I'', ''J'', ''K'' が存在し、四元数の関係式 : を満たす。実数 が : を満たすとしたときの任意の線型結合 : もまた、''M'' 上の複素構造である。特に、接空間 ''T''''x''''M'' は、各々の点 ''x'' で四元数ベクトル空間である。Sp(''k'') は ''I'', ''J'', ''K'' に関して線型である の直交変換群と考えることができる。このことから、多様体のホロノミーは Sp(''k'') に含まれることがわかる。逆に、リーマン多様体 ''M'' のホロノミー群が Sp(''k'') に含まれるならば、複素構造 ''I''''x'', ''Jx'', ''K''''x'' を ''T''''x''''M'' で選び、''T''''x''''M'' を四元数ベクトル空間の中へ写像することができる。これらの複素構造の平行移動は求めている ''M'' 上の四元数多様体構造をもたらす。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「超ケーラー多様体」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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