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数学において、の群環（ぐんかん、）とは、その群の表現が適当な環の表現の表現として読み替えることができるような（いくつかの）構成法が与えられたときの、その環（ふつうは作用素環あるいはもっと一般のバナハ代数）を総称して呼ぶものである。そういった環は、位相を抜きにして考えた群に対する群環と同じような働きを果たす。 == 群環 ''Cc''(''G'')== 函数解析学、特に調和解析で用いる目的で、純代数的な群環の構成を位相群 に対するものへ敷衍することは意味がある。 が局所コンパクトハウスドルフ位相群である場合には、 はハール測度と呼ばれる本質的に一意な左不変可算加法的ボレル測度 を持ち、ハール測度を用いて 上のコンパクト台つき複素数値連続函数全体の成す空間 の上に畳み込み演算を定義することができる。さらに に任意に与えられたノルムによる完備化も群環となり得る。 畳み込み演算は の任意の二元 に対して を、 において : と置くことによって定められる。事実、 が連続であることは優収斂定理から直ちに従うし、中黒を の積として : が成り立つから、 は確かに に属する。また は : で定義される対合も持つ。ただし は のモジュラスである。この対合のもとで は を成す。 ; 定理 : ノルムのもとで はもつ対合を成す。 この代数の近似単位元はコンパクト集合からなる（群の）単位元の近傍基で添字付けることができる。実際、 を単位元のコンパクト近傍とし、 に台を持つ非負連続函数 が : を満たすものをとれば、 が近似単位元となる。群環が（単に近似単位元であるばかりではなく厳密な）単位元をもつための必要十分条件は、もとの群の位相が離散位相であることである。 離散群の場合の は複素係数の群環 と同じものであることに注意。 この群環の重要性は、これが のユニタリ表現論を以下に述べるような意味で的確に捉えることができるという点にある。 ; 定理: を局所コンパクト群、 をヒルベルト空間 における の強連続ユニタリ表現とすると、はノルム代数 の非退化有界 ∗-表現であり、写像 は の強連続ユニタリ表現全体の成す集合と の非退化有界 ∗-表現との間の全単射となる。この全単射はユニタリ同値と強束縛に矛盾しない。特に が既約であることと、 が既約であることとは同値である。 ここで、ヒルベルト空間 における の表現 が非退化であるとは、 : が において稠密であることを言う。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「位相群の群環」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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