翻訳と辞書 Words near each other ・ 直示的定義 ・ 直税 ・ 直積 ・ 直積 (ベクトル) ・ 直積 (圏論) ・ 直積 (環論) ・ 直積 (群論) ・ 直積み出し ・ 直積位相 ・ 直積位相空間 ・ 直積測度 ・ 直積演算子 ・ 直積演算子法 ・ 直積環 ・ 直積空間 ・ 直積群 ・ 直積集合 ・ 直積順序 ・ 直立 ・ 直立の Dictionary Lists mini英和辞書 mini和英辞書 Webster 1913 Latin-English FOLDOC Wikipedia English ウィキペディア

翻訳と辞書　辞書検索 [ 開発暫定版 ] スポンサード リンク 直積測度 ： ミニ英和和英辞書 直積測度[ど] ===================================== 〔語彙分解〕的な部分一致の検索結果は以下の通りです。 ・ 直 ： [ひた, ちょく] 　【名詞】 1. earnestly　2. immediately　3. exactly ・ 積 ： [せき] 　【名詞】 1. (gen) (math) product　 ・ 測度 ： [そくど] 　(n) measurement ・ 度 ： [ど] 　 1. (n,n-suf) (1) degree (angle, temperature, scale, 　2. (2) counter for occurrences　3. times　4. (3) strength (of alcohol)　5. (4) (uk) (pref) very　6. totally　 直積測度 （ リダイレクト：積測度 ） ： ウィキペディア日本語版 積測度[ちょくせきかそくくうかん] 数学において、ある二つの可測空間とその上の測度が与えられたとき、その空間に対する直積可測空間（ちょくせきかそくくうかん、）と積測度（せきそくど、）を導出することが出来る。概念的に言うと、これは集合のデカルト積や二つの位相空間の直積位相を定義することと似ている。しかし積測度に関しては多くの自然な選び方が存在する。 $(X\_1,\; \backslash Sigma\_1)$ と $(X\_2,\; \backslash Sigma\_2)$ を二つの可測空間とする。すなわち $\backslash Sigma\_1$ と $\backslash Sigma\_2$ はそれぞれ $X\_1$ と $X\_2$ の上のσ-代数である。また $\backslash mu\_1$ と $\backslash mu\_2$ をそれらの空間上の測度とする。$\backslash Sigma\_1\; \backslash otimes\; \backslash Sigma\_2$ によって、$B\_1\; \backslash times\; B\_2$ の形の部分集合によって生成されるデカルト積 $X\_1\; \backslash times\; X\_2$ 上のσ-代数を表す。ただし $B\_1\; \backslash in\; \backslash Sigma\_1$ および $B\_2\; \backslash in\; \backslash Sigma\_2$ である。このような $\backslash Sigma\_1\; \backslash otimes\; \backslash Sigma\_2$ はその直積空間上の「テンソル積σ-代数」（tensor-product σ-algebra）と呼ばれる。 積測度 $\backslash mu\_1\; \backslash times\; \backslash mu\_2$ は、可測空間 $(X\_1\; \backslash times\; X\_2,\; \backslash Sigma\_1\; \backslash otimes\; \backslash Sigma\_2)$ 上の測度で、すべての $B\_1\; \backslash in\; \backslash Sigma\_1,\backslash \; B\_2\; \backslash in\; \backslash Sigma\_2$ に対して次の性質を満たすものとして定義される。 :$(\backslash mu\_1\; \backslash times\; \backslash mu\_2)(B\_1\; \backslash times\; B\_2)\; =\; \backslash mu\_1(B\_1)\; \backslash mu\_2(B\_2).$ 無限大となることもあるような測度の掛け算において、その積がゼロであるとは任意の因子がゼロであることとして定義する。 実際、空間が $\backslash sigma$-有限であるとき、積測度は一意的に定義され、すべての可測集合 ''E'' に対して :$(\backslash mu\_1\; \backslash times\; \backslash mu\_2)(E)\; =\; \backslash int\_\; \backslash mu\_1(E^y)\backslash ,d\backslash mu\_2(y)\; =\; \backslash int\_\; \backslash mu\_2(E\_)\backslash ,d\backslash mu\_1(x)$ が成立する。ただし ''E''''x'' = および ''E''''y'' = で、それらはいずれも可測集合である。 この測度の存在はハーン＝コルモゴロフの定理によって保証される。積測度の一意性は、(X1,Σ1,μ1) および (X2,Σ2,μ2) のいずれもが であるときにのみ保証される。 ユークリッド空間 R''n'' 上のボレル測度は、実数直線 R 上のボレル測度の ''n'' 個のコピーの積として得られる。 直積空間の二つの因子がたとえ完備測度空間であっても、その直積空間自身が完備測度空間であるとは限らない。したがって、ボレル測度をルベーグ測度に拡張したり、二つのルベーグ測度の積を直積空間上のルベーグ測度を与える上で拡張するためには、完備化の手順が必要となる。 二つの測度の積の構成と反対の手順は、として知られている。これはある意味において、与えられた測度を測度の族に「分ける」作業である。そのようにして分けられた測度から、元の測度を得ることも可能である。 == 例 == * 二つの測度空間が与えられたとき、それらの直積空間上の唯一つの極大積測度 μmax で次の性質を満たすものが存在する：ある可測集合 ''A'' に対して μmax(''A'') が有限であるなら、任意の積測度 μ に対して μmax(''A'') = μ(''A'') が成立する。特に、任意の可測集合に関するその測度の値は、他の任意の積測度の値を下回ることはない。これはカラテオドリの拡張定理によって作られる測度である。 * ''A'' と ''S'' を可測集合とするとき、μmin(''S'') = sup''A''⊂''S'', μmax(''A'') finite μmax(''A'') で与えられる唯一つの極小積測度 μmin が存在する。 * ここで直積空間が複数の積測度を持つ例を考える。''X'' はルベーグ測度を伴う単位区間、''Y'' は数え上げ測度を伴う単位区間とし、すべての集合は可測であるとしたとき、直積空間 ''X''×''Y'' を考える。このとき、極小積測度に対して、ある集合の測度はその水平部分の測度の和となるが、極大積測度に対しては、可算個の水平直線と ''X'' の上への射影を伴う測度 0 の集合の合併に含まれていない限り、集合の測度は 0 となる。特に、極小積測度に対してその対角部分は測度 0 となるが、極大積測度に対しては無限大となる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「積測度」の詳細全文を読む スポンサード リンク 翻訳と辞書 : 翻訳のためのインターネットリソース Copyright(C) kotoba.ne.jp 1997-2016. All Rights Reserved.