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数学および理論物理学における汎函数微分（はんかんすうびぶん、）は方向微分の一般化である。方向微分が有限次元のベクトルに関する微分法であるのに対して、汎函数微分は（無限次元ベクトルとしての）連続函数に対する微分法を与えるが、単純な一変数微分積分学における一次元の微分を一般化したものと見做せる点では両者は共通している。汎函数微分の数学的に厳密な取扱いは函数解析学に属する。 == 定義 == 与えられた多様体 ''M'' が (連続な/滑らかな/ある種の境界条件を持つなどの) 函数 φ を表現するものとし、汎函数 ''F'' が :: と定義されているとき、''F'' の汎函数微分 とは、任意の試験函数 ''f'' に対して : を満たすようなシュヴァルツ超函数を言う。試験函数 ''f'' のところに φ の第一変分 δφ を代用して、汎函数 ''F'' の第一変分 δ''F'' が得られることは、傾き (gradient) から函数の微分が得られるのと同様である。また、ノルム 1 の試験函数 ''f'' を用いれば、この函数に沿った方向微分が得られる。 物理学では、（偏微分が傾きの成分であるのと同様の意味で、ひとつの汎函数微分の各「成分」を記述する）点 ''y'' における汎函数微分を導くのに、一般の試験函数 ''f''(''x'') ではなくてディラックのデルタ函数 δ(''x'' − ''y'') を用いて : とするのが普通である。この手法は、''F''+ ε''f''(''x'') が形式的に ε を変数とする級数に（あるいは少なくとも一次までは）展開できる場合にはうまくいく。しかしこの式は数学的に言えば厳密なものでない、なぜなら ''F''+ εδ(''x'' − ''y'') はふつう十分に定義されないからである。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「汎函数微分」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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