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数学において、多変数微分可能関数のある与えられた点 x におけるある与えられたベクトル v に沿った方向微分（ほうこうびぶん、）とは、直感的には、v によって特徴づけられた速度で x を通過する時の、その関数の即時的な変化率を意味する。したがって、他のすべての座標は定数として、ある一つのに沿った変化率を取るような、偏微分の概念を一般化するものである。 方向微分は、ガトー微分の特別な場合である。 == 定義 == あるベクトル : に沿った、スカラー関数 : の方向微分は、極限 : として定義される関数である。 関数 ''f'' が x において微分可能であるなら、任意のベクトル v に沿った方向微分が存在し、 : が成立する。ここで、右辺の は勾配を表し、 はドット積を表す〔技術的に言うと、勾配 ∇''f'' は余ベクトルであり、ドット積はベクトル v 上のこの余ベクトルの動きである。〕。任意の点 x において、''f'' の方向微分は、直感的には、ある速度と、v によって与えられるある方向によって動く時の、 の時間に関する変化率を表す。 何人かの研究者は、方向微分を正規化を施した後のベクトル v に対して定義しており、その場合その絶対値は考慮から外される。すると、 : であるか、あるいは ''f'' が x において微分可能である場合には、 : が成立する。この定義には、いくつかの不利な点がある：すなわち、その定義はベクトルのノルムが定義され、ゼロでない場合においてのみ適用されるということである。この定義は、物理学や工学など、数学と異なるいくつかの分野において用いられる概念とは相入れないものとなるが、単位距離ごとの ''f'' の増加率を知りたい場合には、用いられるべきものである。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「方向微分」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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