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完全数（かんぜんすう，）とは、その数自身を除く約数の和が、その数自身と等しい自然数のことである。例えば 6 (= 1 + 2 + 3)、28 (= 1 + 2 + 4 + 7 + 14) や496が完全数である。『聖書』の研究者は、最初の完全数が 6 なのは「神が6日間で世界を創造した」こと（天地創造）、次の完全数が 28 なのは「月の公転周期が28日である」ことと関連があると考えていたとされる〔淡中忠郎「メルセンヌ数物語」『数学セミナー』、1973年9月号。数学セミナー編集部(1982)、65-67頁に再録されている。〕。2014年11月の時点で、発見されている完全数はメルセンヌ素数と同じく48個である。紀元前より考察されている対象であるにもかかわらず、「偶数の完全数が無数に存在するか？」、「奇数の完全数は存在するか？」、「末尾が6か8以外の完全数は存在するか？」、という問題は未解決である。 完全数の定義より、完全数の正の約数の総和は元の数の2倍に等しい。すなわち、''n'' が完全数であるとは、約数関数 σ に対して σ(''n'') = 2''n'' を満たすことであると表現できる。 == 概要 == 完全数はメルセンヌ素数と関係が深く、''M'' (= 2 − 1) が素数ならば 2''M'' が完全数であることが、ユークリッドによって証明されている。このことから、紀元前には、2(2 − 1) = 6, 2(2 − 1) = 28, 2(2 − 1) = 496, 2(2 − 1) = 8128 が完全数であることが知られていた。また、メルセンヌ素数 2 − 1 に対応する完全数 2(2 − 1) は 2 − 1 番目の三角数でもある。 その後、オイラーが登場するまでは、2(2 − 1) = 33550336, 2(2 − 1) = 8589869056, 2(2 − 1) = 137438691328 が完全数であることが発見されただけであった。オイラーは、全ての偶数の完全数が、メルセンヌ素数に対応するものであることを示した。これによって、偶数の完全数を探すことは、メルセンヌ素数を探すことと同等であることが分かった。また、オイラーは 2 − 1 が素数であることを確かめ、その結果 2(2 − 1) が完全数であることを示した。 リュカは19年かけて39桁の自然数 2 − 1 が素数であることを確かめ、その結果、77桁の完全数を発見した。2 − 1 は、手計算で発見された素数のうち、最大のものである。現代においては、メガ素数の発見にはコンピュータが用いられる。特に、メルセンヌ素数の発見においては、分散コンピューティングによるプロジェクト GIMPS が有名であり、35個目以降の完全数の発見は全て GIMPS によるものである。 完全数は、小さい順に : 6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, …（） である。知られている完全数の一覧についてはメルセンヌ数を参照のこと。 またこれらの完全数の約数の和は : 12, 56, 992, 16256, 67100672, 17179738112, …（） である。 *6以外の完全数は奇数の立方和で表せることが知られている。これは より証明可能である。(例．28=1+3、496=1+3+5+7) *完全数の約数の逆数の総和は 2 になる。 *完全数の和の数列がある。 6, 34, 530, 8658, 33558994,… () 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「完全数」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Perfect number 」があります。 スポンサード リンク
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