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数学において、斜交ベクトル空間（しゃこうべくとるくうかん、英：symplectic vector space）（シンプレクティックベクトル空間ともいう）とは、斜交形式（しゃこうけいしき、英：symplectic form）（シンプレクティック形式ともいう）と呼ばれる非退化反対称双線形形式 ω を備えたベクトル空間 ''V'' のことである。 斜交形式の定義を明示的に書くと、以下を満たす双線形形式 ω : ''V'' × ''V'' → R である。 * 反対称性： ∀''u'', ''v'' ∈ ''V'' ; ω(''u'', ''v'') = −ω(''v'', ''u'') * 非退化性： ⇒ ''u'' = 0 ''V'' が有限次元の場合は、その次元は偶数でなければならない、というのも、奇数次の反対称行列の行列式は零だからである。 基底を固定して考えると、ω は行列で表現することができる。上記の 2 条件は、この行列が反対称かつ非特異でなければならないことを言っている。 これは、斜交行列であることとは同一でない。斜交行列はこれと異なる概念である。 非退化反対称双線形形式は、例えばユークリッド空間の内積の様な非退化「対称」双線形形式とはかなり異なった振る舞いをする。ユークリッド内積 ''g'' においては、任意の非零ベクトル ''v'' に対し ''g''(''v'',''v'') > 0 である。一方斜交形式 ω は、反対称性より ω(''v'',''v'') = 0 を満たす。 == 標準斜交空間 == 標準斜交空間は、以下の斜交行列により与えられる斜交形式を有する R2''n'' である。 ここで、''I''''n'' は ''n'' × ''n'' 次単位行列である。 標準基底 により、 が成り立つ。 グラム・シュミットの正規直交化法を修正することにより、任意の有限次元斜交空間はこの様な基底を有することがわかる。これをダルブー基底という。 標準斜交形式を解釈するもう一つの方法がある。 上記で使用したモデル空間 R2''n'' は、誤解の元となる様な多くの標準的構造を有するので、その代わり、一般化したベクトル空間を使うこととする。 ''V'' を ''n'' 次元の実ベクトル空間、''V''∗ をその双対ベクトル空間とする。 ここで、以下の形式を持つこれら空間の直和 ''W'' := ''V'' ⊕ ''V''∗ を考える。 そして、''V'' の任意の基底 を取り、その双対基底 を考える。 ''x''''i'' = (''v''''i'', 0) および ''y''''i'' = (0, v''i''∗) と書くと、これら基底ベクトルが ''W'' 内にあると解することができる。 これらを一まとめにして考えると、''W'' の完全な基底 が得られる。 ここで定義した形式 ω は、本節冒頭の形式と同一の特徴を有することを示すことができる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「斜交ベクトル空間」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Symplectic vector space 」があります。 スポンサード リンク
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