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線型代数学において、ある次元 ''n'' のベクトル空間に対する基底は、''n'' 個のベクトル α1, ..., αn の列で、その空間内のすべてのベクトルがそれら基底ベクトルの線型結合として一意的に表現されるという性質が成り立つ。作用素の行列表示も、同様にその選ばれた基底によって一意的に決定される。しばしば一つのベクトル空間に対して、複数の基底について考えることが望ましいことがあり、したがって線型代数学における本質的に重要な概念として、ある一つの基底に対するベクトルと作用素の座標に関する表現を、他の基底に対する同値な表現へと簡単に変換する、というものが存在する。そのような変換のことを基底変換（きていへんかん、）と呼ぶ。 以下ではベクトル空間の語を用い、記号 R は実数の体を意味するために用いられるが、そこで議論される結果は R が可換環であり「ベクトル空間」が「自由R-加群に置き換えられた場合にも成立する。 == 記号の準備 == Rn に対する標準基底は で与えられる。ここで ej は ''j'' 番目の成分が 1 でその他の成分が 0 であるような Rn の元である。 ''T'' : Rn → Rm を線型変換としたとき、''T'' の m × n 行列とは、''j'' = 1, ..., ''n'' に対して第 ''j'' 列が ''T''(ej) であるような行列 t のことを言う。このとき、Rn 内のすべての x に対して ''T''(x) = tx が成立する。ただし、x はある列ベクトルと見なし、右側からの乗算はである。線型代数学における基本的な事実として、Rn から Rm へのすべての線型変換からなるベクトル空間 Hom(Rn, Rm) は、R 上の m × n 行列の空間 Rm × n への自然な同型である、という事実がある。すなわち、線型変換 ''T'' : Rn → Rm はすべての意志や目的に対して、行列 t と同値である。 さらに以下の簡単な結果を利用する。 定理 ''V'' と ''W'' をベクトル空間とし、 を ''V'' に対する基底とし、 を ''W'' 内の任意の ''n'' 個のベクトルとする。このとき、''j'' = 1, ..., ''n'' に対して ''T''(αj) = γj を満たすような線型変換 ''T'' : ''V'' → ''W'' が唯一つ存在する。 この唯一つの ''T'' は ''T''(''x''1α1 + ... + ''x''nαn) = ''x''1γ1 + ... + ''x''nγn で定義される。もちろん、 が ''W'' の基底であるなら、''T'' は線型であると同時に全単射である。言いかえると、''T'' は同型である。このとき ''W'' = ''V'' も同様に成り立つなら、''T'' は自己同型と言われる。 今 ''V'' を R 上のベクトル空間とし、 を ''V'' に対する基底であると仮定する。定義により、ξ が ''V'' 内のベクトルであるなら、ξ = ''x''1α1 + ... + ''x''nαn となるような唯一つのスカラーの組み合わせ ''x''1, ..., ''x''n を R 内より選ぶことが出来る。この組み合わせは、順序付けられた基底 に対する ξ の座標と呼ばれる。Rn 内のそのベクトル x = (''x''1, ..., ''x''n) は ξ の（この基底に対する）座標タプルと呼ばれる。''j'' = 1, ..., ''n'' に対して φ(ej) = αj を満たすような唯一つの線型写像 φ : Rn → ''V'' は、''V'' および基底 に対する座標同型（coordinate isomorphism）と呼ばれる。したがって φ(x) = ξ であるための必要十分条件は、ξ = ''x''1α1 + ... + ''x''nαn である。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「基底変換」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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