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数学におけるボレル集合（ボレルしゅうごう、）は、位相空間の開集合系（あるいは閉集合系）から可算回の合併、交叉、差を取ることによって得られる集合の総称である。名称はエミール・ボレルに由来する。 位相空間 ''X'' に対し、''X'' 上のボレル集合全体の成す族（ボレル集合族）は完全加法族（σ-集合体）を成し、ボレル集合体 (''Borel algebra'') あるいはボレル完全加法族 (''Borel σ-algebra'') と呼ばれる。''X'' 上のボレル集合体は、全ての開集合を含む最小の完全加法族である（全ての閉集合を含む最小の完全加法族でもある）。 ボレル集合は測度論において重要である。これは空間内の任意の開集合（あるいは閉集合）上で定義された測度が、任意のボレル集合上で定義された測度を定めることによる。任意のボレル集合に対して定義される測度はボレル測度と呼ばれる。ボレル集合およびそれに付随するボレル階層は、記述集合論においても基本的な役割を果たす。 文脈によっては、位相空間の（開集合ではなくて）コンパクト集合の生成するものとしてボレル集合を定めることもある。多くの素性の良い (well-behaved) 空間、例えば任意の σ-コンパクトハウスドルフ空間などでは、この定義は先の（開集合を用いた）定義と同値になるが、そうでない病的な空間では違ってくる。 == ボレル集合族の生成 == ''X'' が距離空間である場合には、ボレル集合族は最初に述べた意味で「生成的」に記述することができる。 ''X'' の部分集合族（つまり ''X'' の冪集合 ''P''(''X'') の任意の部分集合）''T'' に対し、 * ''T''σ: ''T'' に属する元の可算個の合併として書ける ''X'' の部分集合全体の成す集合族 * ''T''δ: ''T'' に属する元の可算個の交叉として書ける ''X'' の部分集合全体の成す集合族 * ''T''δσ := (''T''δ)σ であるものとする。また、任意の順序数 ''m'' に関する列 ''G''''m'' を以下のような超限帰納法で定める。 * 初期条件として、''G''0 は ''X'' の開集合系とする。 * ''i'' が極限順序数でないならば、''i'' は直前の順序数 ''i'' − 1 を持つからと定める。 * ''i'' が極限順序数ならば、と置く。 言わんとすることは、「ボレル集合族は最小の非可算順序数 ω1 に対する ''G''ω1 に他ならない」ことである。即ち、ボレル集合族は空間の開集合から、 : なる操作を最小の非可算順序数回反復的に適用して「生成」することができる。 この事実を証明するにあたって、距離空間の任意の開集合が閉集合の増大列の合併として表せることに注意する。特に、補集合を取る操作が、任意の極限順序数 ''m'' に対する ''G''''m'' を ''G''''m'' 自身に写すことを見るのは容易である。さらに言えば、''m'' が非可算極限順序数ならば、''G''''m'' は可算合併のもとで閉じている。 各ボレル集合 ''B'' に対して、ある可算順序数 α''B'' が存在して、''B'' は上記の操作を α''B'' 回反復適用して得られるけれども、''B'' をボレル集合全てを亙って動かすとき α''B'' は全ての可算順序数に亙って変化することに注意すれば、それゆえボレル集合族全体を得ることのできる最小の順序数が最小の非可算順序数 ω1 となることがわかる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ボレル集合」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Borel set 」があります。 スポンサード リンク
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