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ペル数 : ウィキペディア日本語版
ペル数[ぺるすう]
ペル数(ぺるすう、''Pell number'')は自然数で、n番目のペル数を Pn とおいて以下の式で定義される数列にある項のことである。
:P_1 = 1 , P_2 = 2 \,
:P_n = 2P_ + P_ \quad (n \ge 3)
ペル数を1から小さい順に列記すると
:1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, …
ペル数は前項を2倍した数と前々項との和になっている。なお0番目のペル数を0と定義する場合もある。
n番目のペル数は
:P_n=\frac
という式で表される。\scriptstyle \left\vert 1-\sqrt 2 \right\vert <1 であるため、nが大きくなるにつれて隣接するペル数の比 Pn+1/Pn白銀数 \scriptstyle 1+\sqrt 2 に限りなく近付く。
行列では以下のように表現される。
:\begin P_ & P_n \\ P_n & P_ \end = \begin 2 & 1 \\ 1 & 0 \end^n
ここから以下の恒等式が導かれる。
:P_P_-P_n^2 = (-1)^n
この式はペル数をフィボナッチ数に入れ替えても当てはまる。
\displaystyle x^2-2y^2=\pm 1 の自然数解 x,y を小さい順に並べるとyはペル数となる。またその x/y の値は
:\frac = \frac11, \frac32, \frac75, \frac, \frac, \frac, \dots とだんだん√2の値に近付く。
ペル数の内累乗数は1と169のみである。
ペル数を使った以下の式で平方三角数を計算できる。
:\bigl((P_+P_k)\cdot P_k\bigr)^2 = \frac.
左辺は平方数、右辺は三角数を表している。
また以下の式で a2+b2=c2 を満たすピタゴラス数を表すこともできる。
:(a,b,c)=(2P_P_ , P_^2 - P_^2 , P_^2 + P_^2=P_)
== 関連項目 ==

* フィボナッチ数
* 白銀比
* 平方三角数
* ピタゴラス数
* ペル方程式 - ジョン・ペル



抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
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