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数学の関数解析学の分野において、ヒルベルト空間上のコンパクト作用素（ヒルベルトくうかんじょうのコンパクトさようそ、）は、行列の直接的な拡張である。すなわち、ヒルベルト空間において、それらはまさしくにおけるの閉包である。したがって、行列理論で得られる結果はしばしば同様の議論によってコンパクト作用素へと拡張することが出来る。対照的に、無限次元空間上の一般的な作用素の研究には、しばしば異なる手法が必要となる。 例えば、バナッハ空間上のは、行列のジョルダン標準形と非常によく似た形式を取る。ヒルベルト空間の文脈では、正方行列がユニタリ対角化可能であるための必要十分条件は、それが正規作用素であることである。ヒルベルト空間上の正規作用素に対しても、対応する結果が得られる（より一般に、コンパクト性の仮定は除くことも出来る。しかし、上述のように、用いられる手法はより特殊なものとなる）。 この記事では、ヒルベルト空間上のコンパクト作用素に関する結果を紹介する。コンパクト作用素のサブクラスを考える前に、一般的な性質について述べる。 == いくつかの一般的な性質 == ''H'' をヒルベルト空間とし、''L''(''H'') を ''H'' 上の有界作用素の集合とする。''T'' ∈ ''L''(''H'') がコンパクト作用素であるとは、''T'' の下での各有界集合の像が相対コンパクトであることを言う。コンパクト作用素のいくつかの一般的な性質を以下に挙げる。 ''X'' と ''Y'' がヒルベルト空間（実際、''X'' はバナッハで ''Y'' はノルム空間であれば十分）であるとき、''T:'' ''X'' → ''Y'' がコンパクト作用素であるための必要十分条件は、それがを備える ''X'' から（ノルム位相を備える）''Y'' への写像と見なしたときに連続であることである（を参照されたい。また、この文献では、''F'' ⊆ ''X'' が (∀φ є Hom(''X'', ''K'')) sup < ∞ を満たすときに一様有界性が適用されることに注意されたい。ここで ''K'' は考えている体である。ノルム位相を備える Hom(''X'', ''K'') はバナッハ空間であり、写像 ''x *'':Hom(''X'',''K'') → ''K'' はこの位相に関して連続準同型であるため、一様有界性の原理が適用される)。 コンパクト作用素の族は ''L''(''H'') 内のノルム閉・両側 *-イデアルである。したがって、コンパクト作用素 ''T'' は、''H'' が無限次元である場合には有界な逆を持たない。もし ''ST'' = ''TS'' = ''I'' が成立するなら、恒等作用素はコンパクトなるが、これは矛盾である。 強作用素位相における有界作用素の列が ''Sn'' → ''S'' を満たし、''T'' がコンパクトであるなら、''SnT'' はノルムにおいて ''ST'' に収束する。例えば、標準基底 を備えるヒルベルト空間 ''l''2(N) を考える。''Pm'' を の線型包の上の正規直交射影とする。列 は恒等作用素 ''I'' に強収束するが一様収束はしない。今 ''T'' を ''Ten'' = (1/''n'')2 · ''en'' と定義する。''T'' はコンパクトであり、上述のように、一様作用素位相において ''PmT'' → ''I T'' = ''T'' が成立する。すなわち、すべての ''x'' に対して、 : が成立する。各 ''Pm'' は有限ランク作用素であることに注意されたい。同様の理由で、''T'' がコンパクトであるなら、''T'' はある有限ランク作用素の列の一様極限であることが示される。 コンパクト作用素のイデアルのノルム閉性により、逆も同様に成り立つ。 コンパクト作用素を法とする ''L''(''H'') の商 C *-環は、と呼ばれ、そこにおいてはある作用素の性質をコンパクトな摂動に至るまで考えることが出来る。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ヒルベルト空間上のコンパクト作用素」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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