コレスキー分解について

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コレスキー分解：ミニ英和和英辞書

コレスキー分解[これすきーぶんかい]
=====================================
〔語彙分解〕的な部分一致の検索結果は以下の通りです。

・ー： [ちょうおん]
　(n) long vowel mark (usually only used in katakana)
・分： [ぶん, ふん]
　 1. (n,n-suf,pref) (1) part　2. segment　3. share　4. ration　5. (2) rate　6. (3) degree　7. one's lot　8. one's status　9. relation　10. duty　1 1. kind　12. lot　13. (4) in proportion to　14. just as much as　1
・分解： [ぶんかい]
　 1. (n,vs) analysis　2. disassembly　

コレスキー分解：ウィキペディア日本語版

コレスキー分解[これすきーぶんかい]
コレスキー分解（コレスキーぶんかい）とは、正定値エルミート行列''A''を下三角行列''L''と''L''の共役転置''L^*''との積に分解すること。
:

\mathbf = \mathbf \mathbf^ \qquad (\mathbf \in \mathbb^)

Aのエルミート性を利用したLU分解の特別な場合である。''L''の対角成分は実数にとることができて（符号・位相の自由度があるが）通常は、対角成分を正の実数に採り、その場合には、''L''が一意に定まる。''アンドレ＝ルイ・コレスキー''にちなんで名づけられた。
''A''が実対称行列の場合、上式の共役転置は転置に単純化される。
:

\mathbf = \mathbf \mathbf^ \qquad (\mathbf \in \mathbb^)

エルミート対称行列Aが正定値であることと、Aのコレスキー分解が存在することは同値になる。
== アルゴリズムの例 ==
コレスキー法はガウスの消去法の改良版である。
ガウスの消去法は''A''の左方から順次''L''を作用させ前進消去（LU分解に対応。）するが、
''A''⁽ⁱ⁾=''L''_i''A''⁽ⁱ⁺¹⁾　　　　（　または、''A''⁽ⁱ⁺¹⁾=''L''_i^-1''A''⁽ⁱ⁾　）
コレスキー法は''A''を順次''L''と''L^*''で挟んで前進消去していくと考えればよい。
''A''⁽ⁱ⁾=''L''_i''A''⁽ⁱ⁺¹⁾ ''L''_i^* 　　（　または、''A''⁽ⁱ⁺¹⁾=''L''_i^-1''A''⁽ⁱ⁾ ''L''_i^*^-1　）
このとき''A''⁽ⁱ⁺¹⁾のエルミート性は保たれる。
詳細は以下の解説を参照。''A''が実行列の場合は単純に、エルミート→対称、共役転置→転置と読み替えればよい。
コレスキー分解の再帰的アルゴリズムでは、まず最初に''A''⁽¹⁾を下のように置く（定義する）。
:

\mathbf^ := \mathbf

以下、i回目のステップ。エルミート性を保ちながら''A''⁽ⁱ⁾のi行とi列を前進消去して
''A''⁽ⁱ⁺¹⁾を生成することを考える。　''A''⁽ⁱ⁾はi-1行・列まで前進消去されたエルミート行列であるので、下式のように書ける。
:

\mathbf^=\begin\mathbf_ & 0 & 0 \\0 & a_ & \mathbf_^ \\0 & \mathbf_ & \mathbf^\end

ここで、I_i-1はi-1次の単位行列、
a_i,iはi番目の対角要素、
b_iはi列目の下三角部、
B⁽ⁱ⁾は、A⁽ⁱ⁾のi+1行・列以降の部分でやはりエルミートある。次に、Liを
:

\mathbf_: =\begin\mathbf_ & 0 & 0 \\0 & \sqrt & 0 \\0 & \frac \mathbf_ & \mathbf_\end

と定義するとA⁽ⁱ⁾は、
:

\mathbf^=\mathbf_\mathbf^\mathbf(\mathbf_)^

と書ける。（　A⁽ⁱ⁺¹⁾　=　Li^-1 A⁽ⁱ⁾ Li^*-1　より。）ここで、A⁽ⁱ⁺¹⁾は
:

\mathbf^ =\begin\mathbf_ & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & \mathbf^ - \frac \mathbf_ \mathbf_^\end

である。（注.ここでb_i b_i^* は、行列の積。 )
以上が、i回目のステップ。A⁽ⁱ⁾からA⁽ⁱ⁺¹⁾が計算出来たことになる。
nをAの次数として、このステップをn回繰り返すと''A''⁽ⁿ⁺¹⁾ = I_nとなりコレスキー分解は終了する。
:

\mathbf^ = \mathbf_ \mathbf_ \dots \mathbf_ \mathbf^ \mathbf_^ \dots \mathbf_^ \mathbf_^

であり、
:

\mathbf := \mathbf_ \mathbf_ \dots \mathbf_

と置くと、（これが最終的に求める''L''である。）
:

\mathbf = \mathbf \mathbf^

であることが確認できる。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
■ウィキペディアで「コレスキー分解」の詳細全文を読む

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