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数理論理学においてゲーデルの完全性定理（ゲーデルのかんぜんせいていり、、）とは、第一階述語論理の恒真な論理式はその公理系からすべて導出可能であることを示した定理を言う〔廣瀬,横田(1985) p.147、ヒルベルト、アッケルマン(第三版) p.107、ヒルベルト、アッケルマン(第六版) pp.139-145〕。1929年にクルト・ゲーデルが証明した。 == 概要 == 1928年に、D. ヒルベルトとW. アッケルマンの共著書であり、第一階述語論理（狭義の述語論理）を独立した論理体系として形式化した最初の本である『記号論理学の基礎』〔国内では第三版と第六版の邦訳が出版されている。ヒルベルト、アッケルマン(第三版)、ヒルベルト、アッケルマン(第六版)〕の初版が出版されたが、この初版本において第一階述語論理の完全性は一つの未解決問題であった〔制限された形では証明されていた。さらにこの初版本は「この公理系が、すべての正しい論理式を導き出すことができるという意味で、完全であるか否かは依然として未解決の問題である。この公理系がどんな場合にも十分であるというのは、まったく経験的なものである」と述べていた。廣瀬,横田(1985) pp.5-6〕。この本を読み、この問題の解決に取り掛かったクルト・ゲーデルは、学位論文として1929年の秋にその結果を発表した。これがいわゆるゲーデルの完全性定理である〔廣瀬,横田(1985) pp.5-6〕。 第一階述語論理の論理式が恒真あるいは普遍妥当であるとは、個体領域の選び方のいかんにかかわらず、その変項に代入を行っても恒にその論理式が真となることを意味する。完全性定理は、論理式が論理的に妥当ならば、その論理式の有限な演繹（形式的証明）が存在することを示した。その演繹は有限であり、人間またはコンピュータによって検証可能である。この真理値と証明可能性の関係により、数理論理学におけるモデル理論と証明論の密接な関係が確立された。 完全性定理の重要な帰結の1つとして、任意の一階の理論について、その理論の公理を使った正しい演繹を全て数え上げることで、論理的帰結を数え上げることが可能であると示された。すなわち完全性定理は論理的帰結関係 と証明可能性関係 とが一致することを述べているが、後者は帰納的可算であるので前者も帰納的可算であるということである。 ゲーデルの不完全性定理（この場合の「完全性」の意味は異なる）は、ある程度の初等算術を含む帰納的可算理論が無矛盾なら、その理論体系内で証明も反証もできない閉論理式が存在することを示した。その場合も、そのような理論体系に完全性定理を適用でき、その理論体系における任意の論理的帰結はその理論体系内で証明可能である。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ゲーデルの完全性定理」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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