フレネ・セレの公式について

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フルネ・セレの公式：ウィキペディア日本語版

フレネ・セレの公式[ふれねせれのこうしき]

フレネ・セレの公式 (ふれねせれのこうしき、) は3次元ユークリッド空間内 R^''3'' 内の連続で微分可能な曲線上を動く粒子の運動学的性質、あるいは、曲線自身の幾何学的性質を記述するベクトル解析の概念の一つである。
この公式は、曲線に対する接線方向 (tangent)・主法線方向 (normal)・従法線方向 (binormal)をさす３つの単位ベクトルの組からなるフレネ・セレ標構とその微分との間の線形関係について記述したものであり、二人のフランス人数学者 (Jean Frédéric Frenet, 1847) と (Joseph Alfred Serret, 1851) によって独立に発見された。
フレネ・セレ基底を構成する単位接ベクトル ''T'' ・単位主法線ベクトル ''N'' ・単位従法線ベクトル ''B'' は次のように定義される。
* ''T'' は曲線に接する単位ベクトルで、運動の方向を向いている。
* ''N'' は ''T'' を曲線の弧長で微分し、その大きさで割ったものである。
* ''B'' は ''T'' と ''N'' のベクトル積である。
フレネ・セレの公式は
: $\begin\displaystyle\frac &=& & \kappa\boldsymbol & \\&&&&\\\displaystyle\frac &=& -\kappa\boldsymbol & & +\, \tau\boldsymbol\\&&&&\\\displaystyle\frac &=& & -\tau\boldsymbol &\end$
あるいは
: $\displaystyle\frac\begin\boldsymbol\\\boldsymbol\\\boldsymbol\end= \begin 0 & \kappa & 0 \\-\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0\end\begin\boldsymbol\\\boldsymbol\\\boldsymbol\end$
と表される。ここで、d/d''s'' は弧長についての微分を表し、''κ'' ,''τ'' はそれぞれ曲線の曲率、捩率を表す。'T'' ・単位主法線ベクトル ''N'' ・単位従法線ベクトル ''B'' は次のように定義される。
* ''T'' は曲線に接する単位ベクトルで、運動の方向を向いている。
* ''N'' は ''T'' を曲線の弧長で微分し、その大きさで割ったものである。
* ''B'' は ''T'' と ''N'' のベクトル積である。
フレネ・セレの公式は
: $\begin\displaystyle\frac &=& & \kappa\boldsymbol & \\&&&&\\\displaystyle\frac &=& -\kappa\boldsymbol & & +\, \tau\boldsymbol\\&&&&\\\displaystyle\frac &=& & -\tau\boldsymbol &\end$
あるいは
: $\displaystyle\frac\begin\boldsymbol\\\boldsymbol\\\boldsymbol\end= \begin 0 & \kappa & 0 \\-\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0\end\begin\boldsymbol\\\boldsymbol\\\boldsymbol\end$
と表される。ここで、d/d''s'' は弧長についての微分を表し、''κ'' ,''τ'' はそれぞれ曲線の曲率、捩率を表す。' ・単位主法線ベクトル ''N'' ・単位従法線ベクトル ''B'' は次のように定義される。
* ''T'' は曲線に接する単位ベクトルで、運動の方向を向いている。
* ''N'' は ''T'' を曲線の弧長で微分し、その大きさで割ったものである。
* ''B'' は ''T'' と ''N'' のベクトル積である。
フレネ・セレの公式は
: $\begin\displaystyle\frac &=& & \kappa\boldsymbol & \\&&&&\\\displaystyle\frac &=& -\kappa\boldsymbol & & +\, \tau\boldsymbol\\&&&&\\\displaystyle\frac &=& & -\tau\boldsymbol &\end$
あるいは
: $\displaystyle\frac\begin\boldsymbol\\\boldsymbol\\\boldsymbol\end= \begin 0 & \kappa & 0 \\-\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0\end\begin\boldsymbol\\\boldsymbol\\\boldsymbol\end$
と表される。ここで、d/d''s'' は弧長についての微分を表し、''κ'' ,''τ'' はそれぞれ曲線の曲率、捩率を表す。'N'' ・単位従法線ベクトル ''B'' は次のように定義される。
* ''T'' は曲線に接する単位ベクトルで、運動の方向を向いている。
* ''N'' は ''T'' を曲線の弧長で微分し、その大きさで割ったものである。
* ''B'' は ''T'' と ''N'' のベクトル積である。
フレネ・セレの公式は
: $\begin\displaystyle\frac &=& & \kappa\boldsymbol & \\&&&&\\\displaystyle\frac &=& -\kappa\boldsymbol & & +\, \tau\boldsymbol\\&&&&\\\displaystyle\frac &=& & -\tau\boldsymbol &\end$
あるいは
: $\displaystyle\frac\begin\boldsymbol\\\boldsymbol\\\boldsymbol\end= \begin 0 & \kappa & 0 \\-\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0\end\begin\boldsymbol\\\boldsymbol\\\boldsymbol\end$
と表される。ここで、d/d''s'' は弧長についての微分を表し、''κ'' ,''τ'' はそれぞれ曲線の曲率、捩率を表す。' ・単位従法線ベクトル ''B'' は次のように定義される。
* ''T'' は曲線に接する単位ベクトルで、運動の方向を向いている。
* ''N'' は ''T'' を曲線の弧長で微分し、その大きさで割ったものである。
* ''B'' は ''T'' と ''N'' のベクトル積である。
フレネ・セレの公式は
: $\begin\displaystyle\frac &=& & \kappa\boldsymbol & \\&&&&\\\displaystyle\frac &=& -\kappa\boldsymbol & & +\, \tau\boldsymbol\\&&&&\\\displaystyle\frac &=& & -\tau\boldsymbol &\end$
あるいは
: $\displaystyle\frac\begin\boldsymbol\\\boldsymbol\\\boldsymbol\end= \begin 0 & \kappa & 0 \\-\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0\end\begin\boldsymbol\\\boldsymbol\\\boldsymbol\end$
と表される。ここで、d/d''s'' は弧長についての微分を表し、''κ'' ,''τ'' はそれぞれ曲線の曲率、捩率を表す。'B'' は次のように定義される。
* ''T'' は曲線に接する単位ベクトルで、運動の方向を向いている。
* ''N'' は ''T'' を曲線の弧長で微分し、その大きさで割ったものである。
* ''B'' は ''T'' と ''N'' のベクトル積である。
フレネ・セレの公式は
: $\begin\displaystyle\frac &=& & \kappa\boldsymbol & \\&&&&\\\displaystyle\frac &=& -\kappa\boldsymbol & & +\, \tau\boldsymbol\\&&&&\\\displaystyle\frac &=& & -\tau\boldsymbol &\end$
あるいは
: $\displaystyle\frac\begin\boldsymbol\\\boldsymbol\\\boldsymbol\end= \begin 0 & \kappa & 0 \\-\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0\end\begin\boldsymbol\\\boldsymbol\\\boldsymbol\end$
と表される。ここで、d/d''s'' は弧長についての微分を表し、''κ'' ,''τ'' はそれぞれ曲線の曲率、捩率を表す。' は次のように定義される。
* ''T'' は曲線に接する単位ベクトルで、運動の方向を向いている。
* ''N'' は ''T'' を曲線の弧長で微分し、その大きさで割ったものである。
* ''B'' は ''T'' と ''N'' のベクトル積である。
フレネ・セレの公式は
: $\begin\displaystyle\frac &=& & \kappa\boldsymbol & \\&&&&\\\displaystyle\frac &=& -\kappa\boldsymbol & & +\, \tau\boldsymbol\\&&&&\\\displaystyle\frac &=& & -\tau\boldsymbol &\end$
あるいは
: $\displaystyle\frac\begin\boldsymbol\\\boldsymbol\\\boldsymbol\end= \begin 0 & \kappa & 0 \\-\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0\end\begin\boldsymbol\\\boldsymbol\\\boldsymbol\end$
と表される。ここで、d/d''s'' は弧長についての微分を表し、''κ'' ,''τ'' はそれぞれ曲線の曲率、捩率を表す。'T'' は曲線に接する単位ベクトルで、運動の方向を向いている。
* ''N'' は ''T'' を曲線の弧長で微分し、その大きさで割ったものである。
* ''B'' は ''T'' と ''N'' のベクトル積である。
フレネ・セレの公式は
: $\begin\displaystyle\frac &=& & \kappa\boldsymbol & \\&&&&\\\displaystyle\frac &=& -\kappa\boldsymbol & & +\, \tau\boldsymbol\\&&&&\\\displaystyle\frac &=& & -\tau\boldsymbol &\end$
あるいは
: $\displaystyle\frac\begin\boldsymbol\\\boldsymbol\\\boldsymbol\end= \begin 0 & \kappa & 0 \\-\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0\end\begin\boldsymbol\\\boldsymbol\\\boldsymbol\end$
と表される。ここで、d/d''s'' は弧長についての微分を表し、''κ'' ,''τ'' はそれぞれ曲線の曲率、捩率を表す。' は曲線に接する単位ベクトルで、運動の方向を向いている。
* ''N'' は ''T'' を曲線の弧長で微分し、その大きさで割ったものである。
* ''B'' は ''T'' と ''N'' のベクトル積である。
フレネ・セレの公式は
: $\begin\displaystyle\frac &=& & \kappa\boldsymbol & \\&&&&\\\displaystyle\frac &=& -\kappa\boldsymbol & & +\, \tau\boldsymbol\\&&&&\\\displaystyle\frac &=& & -\tau\boldsymbol &\end$
あるいは
: $\displaystyle\frac\begin\boldsymbol\\\boldsymbol\\\boldsymbol\end= \begin 0 & \kappa & 0 \\-\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0\end\begin\boldsymbol\\\boldsymbol\\\boldsymbol\end$
と表される。ここで、d/d''s'' は弧長についての微分を表し、''κ'' ,''τ'' はそれぞれ曲線の曲率、捩率を表す。'N'' は ''T'' を曲線の弧長で微分し、その大きさで割ったものである。
* ''B'' は ''T'' と ''N'' のベクトル積である。
フレネ・セレの公式は
: $\begin\displaystyle\frac &=& & \kappa\boldsymbol & \\&&&&\\\displaystyle\frac &=& -\kappa\boldsymbol & & +\, \tau\boldsymbol\\&&&&\\\displaystyle\frac &=& & -\tau\boldsymbol &\end$
あるいは
: $\displaystyle\frac\begin\boldsymbol\\\boldsymbol\\\boldsymbol\end= \begin 0 & \kappa & 0 \\-\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0\end\begin\boldsymbol\\\boldsymbol\\\boldsymbol\end$
と表される。ここで、d/d''s'' は弧長についての微分を表し、''κ'' ,''τ'' はそれぞれ曲線の曲率、捩率を表す。' は ''T'' を曲線の弧長で微分し、その大きさで割ったものである。
* ''B'' は ''T'' と ''N'' のベクトル積である。
フレネ・セレの公式は
: $\begin\displaystyle\frac &=& & \kappa\boldsymbol & \\&&&&\\\displaystyle\frac &=& -\kappa\boldsymbol & & +\, \tau\boldsymbol\\&&&&\\\displaystyle\frac &=& & -\tau\boldsymbol &\end$
あるいは
: $\displaystyle\frac\begin\boldsymbol\\\boldsymbol\\\boldsymbol\end= \begin 0 & \kappa & 0 \\-\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0\end\begin\boldsymbol\\\boldsymbol\\\boldsymbol\end$
と表される。ここで、d/d''s'' は弧長についての微分を表し、''κ'' ,''τ'' はそれぞれ曲線の曲率、捩率を表す。'T'' を曲線の弧長で微分し、その大きさで割ったものである。
* ''B'' は ''T'' と ''N'' のベクトル積である。
フレネ・セレの公式は
: $\begin\displaystyle\frac &=& & \kappa\boldsymbol & \\&&&&\\\displaystyle\frac &=& -\kappa\boldsymbol & & +\, \tau\boldsymbol\\&&&&\\\displaystyle\frac &=& & -\tau\boldsymbol &\end$
あるいは
: $\displaystyle\frac\begin\boldsymbol\\\boldsymbol\\\boldsymbol\end= \begin 0 & \kappa & 0 \\-\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0\end\begin\boldsymbol\\\boldsymbol\\\boldsymbol\end$
と表される。ここで、d/d''s'' は弧長についての微分を表し、''κ'' ,''τ'' はそれぞれ曲線の曲率、捩率を表す。' を曲線の弧長で微分し、その大きさで割ったものである。
* ''B'' は ''T'' と ''N'' のベクトル積である。
フレネ・セレの公式は
: $\begin\displaystyle\frac &=& & \kappa\boldsymbol & \\&&&&\\\displaystyle\frac &=& -\kappa\boldsymbol & & +\, \tau\boldsymbol\\&&&&\\\displaystyle\frac &=& & -\tau\boldsymbol &\end$
あるいは
: $\displaystyle\frac\begin\boldsymbol\\\boldsymbol\\\boldsymbol\end= \begin 0 & \kappa & 0 \\-\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0\end\begin\boldsymbol\\\boldsymbol\\\boldsymbol\end$
と表される。ここで、d/d''s'' は弧長についての微分を表し、''κ'' ,''τ'' はそれぞれ曲線の曲率、捩率を表す。'B'' は ''T'' と ''N'' のベクトル積である。
フレネ・セレの公式は
: $\begin\displaystyle\frac &=& & \kappa\boldsymbol & \\&&&&\\\displaystyle\frac &=& -\kappa\boldsymbol & & +\, \tau\boldsymbol\\&&&&\\\displaystyle\frac &=& & -\tau\boldsymbol &\end$
あるいは
: $\displaystyle\frac\begin\boldsymbol\\\boldsymbol\\\boldsymbol\end= \begin 0 & \kappa & 0 \\-\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0\end\begin\boldsymbol\\\boldsymbol\\\boldsymbol\end$
と表される。ここで、d/d''s'' は弧長についての微分を表し、''κ'' ,''τ'' はそれぞれ曲線の曲率、捩率を表す。' は ''T'' と ''N'' のベクトル積である。
フレネ・セレの公式は
: $\begin\displaystyle\frac &=& & \kappa\boldsymbol & \\&&&&\\\displaystyle\frac &=& -\kappa\boldsymbol & & +\, \tau\boldsymbol\\&&&&\\\displaystyle\frac &=& & -\tau\boldsymbol &\end$
あるいは
: $\displaystyle\frac\begin\boldsymbol\\\boldsymbol\\\boldsymbol\end= \begin 0 & \kappa & 0 \\-\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0\end\begin\boldsymbol\\\boldsymbol\\\boldsymbol\end$
と表される。ここで、d/d''s'' は弧長についての微分を表し、''κ'' ,''τ'' はそれぞれ曲線の曲率、捩率を表す。'T'' と ''N'' のベクトル積である。
フレネ・セレの公式は
: $\begin\displaystyle\frac &=& & \kappa\boldsymbol & \\&&&&\\\displaystyle\frac &=& -\kappa\boldsymbol & & +\, \tau\boldsymbol\\&&&&\\\displaystyle\frac &=& & -\tau\boldsymbol &\end$
あるいは
: $\displaystyle\frac\begin\boldsymbol\\\boldsymbol\\\boldsymbol\end= \begin 0 & \kappa & 0 \\-\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0\end\begin\boldsymbol\\\boldsymbol\\\boldsymbol\end$
と表される。ここで、d/d''s'' は弧長についての微分を表し、''κ'' ,''τ'' はそれぞれ曲線の曲率、捩率を表す。' と ''N'' のベクトル積である。
フレネ・セレの公式は
: $\begin\displaystyle\frac &=& & \kappa\boldsymbol & \\&&&&\\\displaystyle\frac &=& -\kappa\boldsymbol & & +\, \tau\boldsymbol\\&&&&\\\displaystyle\frac &=& & -\tau\boldsymbol &\end$
あるいは
: $\displaystyle\frac\begin\boldsymbol\\\boldsymbol\\\boldsymbol\end= \begin 0 & \kappa & 0 \\-\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0\end\begin\boldsymbol\\\boldsymbol\\\boldsymbol\end$
と表される。ここで、d/d''s'' は弧長についての微分を表し、''κ'' ,''τ'' はそれぞれ曲線の曲率、捩率を表す。'N'' のベクトル積である。
フレネ・セレの公式は
: $\begin\displaystyle\frac &=& & \kappa\boldsymbol & \\&&&&\\\displaystyle\frac &=& -\kappa\boldsymbol & & +\, \tau\boldsymbol\\&&&&\\\displaystyle\frac &=& & -\tau\boldsymbol &\end$
あるいは
: $\displaystyle\frac\begin\boldsymbol\\\boldsymbol\\\boldsymbol\end= \begin 0 & \kappa & 0 \\-\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0\end\begin\boldsymbol\\\boldsymbol\\\boldsymbol\end$
と表される。ここで、d/d''s'' は弧長についての微分を表し、''κ'' ,''τ'' はそれぞれ曲線の曲率、捩率を表す。' のベクトル積である。
フレネ・セレの公式は
: $\begin\displaystyle\frac &=& & \kappa\boldsymbol & \\&&&&\\\displaystyle\frac &=& -\kappa\boldsymbol & & +\, \tau\boldsymbol\\&&&&\\\displaystyle\frac &=& & -\tau\boldsymbol &\end$
あるいは
: $\displaystyle\frac\begin\boldsymbol\\\boldsymbol\\\boldsymbol\end= \begin 0 & \kappa & 0 \\-\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0\end\begin\boldsymbol\\\boldsymbol\\\boldsymbol\end$
と表される。ここで、d/d''s'' は弧長についての微分を表し、''κ'' ,''τ'' はそれぞれ曲線の曲率、捩率を表す。
==導出==

===前提===
ユークリッド空間内を運動する粒子の時刻 ''t'' における位置ベクトルをとする。関数のグラフは粒子の軌道を表す曲線である。
ただし、 ''r'' (''t'' ) は微分可能であり、粒子は停止せず ( (=)≠0)、
軌道は曲がっている (×≠0)、
と仮定する。'r'' (''t'' ) は微分可能であり、粒子は停止せず ( (=)≠0)、
軌道は曲がっている (×≠0)、
と仮定する。' (''t'' ) は微分可能であり、粒子は停止せず ( (=)≠0)、
軌道は曲がっている (×≠0)、
と仮定する。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
■ウィキペディアで「フレネ・セレの公式」の詳細全文を読む

英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Frenet-Serret formulas 」があります。

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