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0.999... : ウィキペディア日本語版
0.999...

数学において、十進法表示したときに小数点以下の各位にすべて が並ぶ循環小数 実数を表すものならば、それはちょうど に等しい。循環小数 はその循環節を明確にするために
:0.\overline =0.\underline =0.\dot =0.(9)
などとも記される。'' が実数を表すものならば、それはちょうど に等しい。循環小数 はその循環節を明確にするために
:0.\overline =0.\underline =0.\dot =0.(9)
などとも記される。
== 概要 ==
実数は広く十進法で表され、十進小数表示により数字の羅列で表記される。この表記により、「循環小数 」が表す実数を考えることができるが、これは寸分違わずちょうど に等しい。つまり、"" と "" という別の数字列は同じ数に対応しており、これらの数値の差は紛れもなく である。この証明は、どの程度数学的に厳密であるかにより、複数の方法で説明することができる。
このような小数表示の二重性は に特有の現象ではなく、十進法では でないすべての有限小数は、途中から のみが無数に続く無限小数で表せる(例えば、 と )。また、 以外を基数とする位取り記数法でも、有限小数に対して同じことが起きる。
数学教育においては、この という事実を「正しくない」() と感じる学生・生徒たちに「等しい」と理解し受け入れてもらうためにはどのように教えればいいのか、といった点が研究されてきた。ここで「正しくない」と感じる人の多くの理由は、実数に対するいくつかの誤解に基づくものである。例えば、「一つの実数の小数表示は無数桁まで含めて必ず一通りである」といった思い込みであったり、「限りなく小さい量(無限小)といったものが(それが四則演算大小関係の体系に齟齬を来すとしても)存在するはずである」という期待であったり、極限という概念が理解できない(「いくら が無数に続いても、そこには最後の というものがあるはずだ」)と考えたりするものである。これらの解釈は、現代数学における実数論で誤りであると証明される。実際には有理数から実数を構成すること(有理数体の完備化)で示され、そこでの有理数から構成した「実数の構成」により をも直接に証明してしまう。
なお、実数とは異なる数体系で、 という直観が真であるものがいくつか存在する。そこでは、合理的に "" と呼べる対象があり、それは厳密に よりも小さい。''」が表す実数を考えることができるが、これは寸分違わずちょうど に等しい。つまり、"" と "" という別の数字列は同じ数に対応しており、これらの数値の差は紛れもなく である。この証明は、どの程度数学的に厳密であるかにより、複数の方法で説明することができる。
このような小数表示の二重性は に特有の現象ではなく、十進法では でないすべての有限小数は、途中から のみが無数に続く無限小数で表せる(例えば、 と )。また、 以外を基数とする位取り記数法でも、有限小数に対して同じことが起きる。
数学教育においては、この という事実を「正しくない」() と感じる学生・生徒たちに「等しい」と理解し受け入れてもらうためにはどのように教えればいいのか、といった点が研究されてきた。ここで「正しくない」と感じる人の多くの理由は、実数に対するいくつかの誤解に基づくものである。例えば、「一つの実数の小数表示は無数桁まで含めて必ず一通りである」といった思い込みであったり、「限りなく小さい量(無限小)といったものが(それが四則演算大小関係の体系に齟齬を来すとしても)存在するはずである」という期待であったり、極限という概念が理解できない(「いくら が無数に続いても、そこには最後の というものがあるはずだ」)と考えたりするものである。これらの解釈は、現代数学における実数論で誤りであると証明される。実際には有理数から実数を構成すること(有理数体の完備化)で示され、そこでの有理数から構成した「実数の構成」により をも直接に証明してしまう。
なお、実数とは異なる数体系で、 という直観が真であるものがいくつか存在する。そこでは、合理的に "" と呼べる対象があり、それは厳密に よりも小さい。'' である。この証明は、どの程度数学的に厳密であるかにより、複数の方法で説明することができる。
このような小数表示の二重性は に特有の現象ではなく、十進法では でないすべての有限小数は、途中から のみが無数に続く無限小数で表せる(例えば、 と )。また、 以外を基数とする位取り記数法でも、有限小数に対して同じことが起きる。
数学教育においては、この という事実を「正しくない」() と感じる学生・生徒たちに「等しい」と理解し受け入れてもらうためにはどのように教えればいいのか、といった点が研究されてきた。ここで「正しくない」と感じる人の多くの理由は、実数に対するいくつかの誤解に基づくものである。例えば、「一つの実数の小数表示は無数桁まで含めて必ず一通りである」といった思い込みであったり、「限りなく小さい量(無限小)といったものが(それが四則演算大小関係の体系に齟齬を来すとしても)存在するはずである」という期待であったり、極限という概念が理解できない(「いくら が無数に続いても、そこには最後の というものがあるはずだ」)と考えたりするものである。これらの解釈は、現代数学における実数論で誤りであると証明される。実際には有理数から実数を構成すること(有理数体の完備化)で示され、そこでの有理数から構成した「実数の構成」により をも直接に証明してしまう。
なお、実数とは異なる数体系で、 という直観が真であるものがいくつか存在する。そこでは、合理的に "" と呼べる対象があり、それは厳密に よりも小さい

抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
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