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数学において、十進法表示したときに小数点以下の各位にすべて が並ぶ循環小数 が実数を表すものならば、それはちょうど に等しい。循環小数 はその循環節を明確にするために : などとも記される。 : などとも記される。 == 概要 == 実数は広く十進法で表され、十進小数表示により数字の羅列で表記される。この表記により、「循環小数 」が表す実数を考えることができるが、これは寸分違わずちょうど に等しい。つまり、"" と "" という別の数字列は同じ数に対応しており、これらの数値の差は紛れもなく である。この証明は、どの程度数学的に厳密であるかにより、複数の方法で説明することができる。 このような小数表示の二重性は に特有の現象ではなく、十進法では でないすべての有限小数は、途中から のみが無数に続く無限小数で表せる（例えば、 と ）。また、 以外を基数とする位取り記数法でも、有限小数に対して同じことが起きる。 数学教育においては、この という事実を「正しくない」() と感じる学生・生徒たちに「等しい」と理解し受け入れてもらうためにはどのように教えればいいのか、といった点が研究されてきた。ここで「正しくない」と感じる人の多くの理由は、実数に対するいくつかの誤解に基づくものである。例えば、「一つの実数の小数表示は無数桁まで含めて必ず一通りである」といった思い込みであったり、「限りなく小さい量（無限小）といったものが（それが四則演算や大小関係の体系に齟齬を来すとしても）存在するはずである」という期待であったり、極限という概念が理解できない（「いくら が無数に続いても、そこには最後の というものがあるはずだ」）と考えたりするものである。これらの解釈は、現代数学における実数論で誤りであると証明される。実際には有理数から実数を構成すること（有理数体の完備化）で示され、そこでの有理数から構成した「実数の構成」により をも直接に証明してしまう。 なお、実数体とは異なる数体系で、 という直観が真であるものがいくつか存在する。そこでは、合理的に "" と呼べる対象があり、それは厳密に よりも小さい。 このような小数表示の二重性は に特有の現象ではなく、十進法では でないすべての有限小数は、途中から のみが無数に続く無限小数で表せる（例えば、 と ）。また、 以外を基数とする位取り記数法でも、有限小数に対して同じことが起きる。 数学教育においては、この という事実を「正しくない」() と感じる学生・生徒たちに「等しい」と理解し受け入れてもらうためにはどのように教えればいいのか、といった点が研究されてきた。ここで「正しくない」と感じる人の多くの理由は、実数に対するいくつかの誤解に基づくものである。例えば、「一つの実数の小数表示は無数桁まで含めて必ず一通りである」といった思い込みであったり、「限りなく小さい量（無限小）といったものが（それが四則演算や大小関係の体系に齟齬を来すとしても）存在するはずである」という期待であったり、極限という概念が理解できない（「いくら が無数に続いても、そこには最後の というものがあるはずだ」）と考えたりするものである。これらの解釈は、現代数学における実数論で誤りであると証明される。実際には有理数から実数を構成すること（有理数体の完備化）で示され、そこでの有理数から構成した「実数の構成」により をも直接に証明してしまう。 なお、実数体とは異なる数体系で、 という直観が真であるものがいくつか存在する。そこでは、合理的に "" と呼べる対象があり、それは厳密に よりも小さい。 このような小数表示の二重性は に特有の現象ではなく、十進法では でないすべての有限小数は、途中から のみが無数に続く無限小数で表せる（例えば、 と ）。また、 以外を基数とする位取り記数法でも、有限小数に対して同じことが起きる。 数学教育においては、この という事実を「正しくない」() と感じる学生・生徒たちに「等しい」と理解し受け入れてもらうためにはどのように教えればいいのか、といった点が研究されてきた。ここで「正しくない」と感じる人の多くの理由は、実数に対するいくつかの誤解に基づくものである。例えば、「一つの実数の小数表示は無数桁まで含めて必ず一通りである」といった思い込みであったり、「限りなく小さい量（無限小）といったものが（それが四則演算や大小関係の体系に齟齬を来すとしても）存在するはずである」という期待であったり、極限という概念が理解できない（「いくら が無数に続いても、そこには最後の というものがあるはずだ」）と考えたりするものである。これらの解釈は、現代数学における実数論で誤りであると証明される。実際には有理数から実数を構成すること（有理数体の完備化）で示され、そこでの有理数から構成した「実数の構成」により をも直接に証明してしまう。 なお、実数体とは異なる数体系で、 という直観が真であるものがいくつか存在する。そこでは、合理的に "" と呼べる対象があり、それは厳密に よりも小さい。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「0.999...」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 0.999... 」があります。 スポンサード リンク
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