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階数因数分解 : ミニ英和和英辞書
階数因数分解[かいすういんすうぶんかい]
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〔語彙分解〕的な部分一致の検索結果は以下の通りです。

: [かい]
  1. (n,n-suf) -floor (counter) 2. stories 3. storeys 
階数 : [かいすう]
 (n) number of stairs or stories (storeys)
: [すう, かず]
  1. (n,n-suf) number 2. figure 
: [いん]
 【名詞】 1. cause 2. factor 
因数 : [いんすう]
 (n) factor (in math)
因数分解 : [いんすうぶんかい]
  1. (n,vs) factorization 2. factorisation
: [ぶん, ふん]
  1. (n,n-suf,pref) (1) part 2. segment 3. share 4. ration 5. (2) rate 6. (3) degree 7. one's lot 8. one's status 9. relation 10. duty 1 1. kind 12. lot 13. (4) in proportion to 14. just as much as 1
分解 : [ぶんかい]
  1. (n,vs) analysis 2. disassembly 

階数因数分解 : ウィキペディア日本語版
階数因数分解[かいすういんすうぶんかい]
数学線型代数学の分野において、階数r のある与えられた m \times n 行列 A階数因数分解(かいすういんすうぶんかい、)あるいは階数分解(rank decomposition)とは、ある m \times r 行列 Cr \times n 行列 F の積としての表示 A=CF のことを言う。
全ての有限次元行列には階数因数分解が存在するA を、列階数r であるような m\times n 行列とする。すなわち、A には r 個の線型独立な列が含まれる。あるいは同じ意味であるが、A列空間次元r である。c_1,c_2,\ldots,c_r を、A の列空間の任意の基底とし、それらを列ベクトルとして m\times r 行列 C = を構成する。したがって、A の全ての列ベクトルは、C の列の線型結合である。正確に言うと、A = を第 j 列が a_j であるような m\times n 行列とすれば、
:a_j = f_c_1 + f_c_2 + \cdots + f_c_r,
となる。ただし f_ は、基底 c_1,c_2,\ldots,c_r に関する a_j のスカラー係数である。このことは、f_(i,j)-成分とする行列 F によって A = CF が得られることを意味する。
== rank(A) = rank(A^\text) ==
階数因数分解から直ちに従う帰結として、A の階数はその転置行列 A^\text の階数と等しい、というものがある。すると A の列は A^\text の行であることから、A列階数行階数は等しいことが分かる。
証明:これが真であることを示すために、はじめに行列の「階数」とはその「列階数」を意味するものであると定義しておく。A = CF より、A^\text = F^\textC^\text が従う。の定義から、この等式は A^\text の各列が F^\text の列の線型結合であることを意味する。したがって、A^\text の列空間は F^\text の列空間に含まれるものであることが分かり、したがって rank(A^\text) ≤ rank(F^\text) が成立する。今 F^\textn×r 行列であるので、F^\text には r 個の列が存在し、したがって rank(A^\text) ≤ r = rank(A) が成立する。これより rank(A^\text) ≤ rank(A) が示された。続いて、その逆の不等式が成立することを示すために、A^\text に対して上述の結果を適用する。(A^\text)^\text = A なので、rank(A) = rank((A^\text)^\text) ≤ rank(A^\text) と書くことが出来る。このことから rank(A) ≤ rank(A^\text) が示される。したがって、rank(A^\text) ≤ rank(A) かつ rank(A) ≤ rank(A^\text) であることから、rank(A) = rank(A^\text) が示された。
== 行階段形からの階数因数分解 ==
実際、特定の階数因数分解を次の手順で構成することが出来る:A行既約階段形 B は計算することで得られる。このとき、上述の行列 CA から全ての非ピボット列を除くことで得られ、FB から全てのゼロ行を除くことで得られる。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
ウィキペディアで「階数因数分解」の詳細全文を読む




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